LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

TERMINALE L

Avec des rectangles de base très fine on peut obtenir une approximation de cette aire. De plus, par symétrie autour de la droite d'équation y = x, on remarque que A(1/a) = A(a).

A. Aire sous l'hyperbole , vers la fonction ln 1. Soit a un réel supérieur à 1 . On s'intéresse à l 'aire de la courbe comprise entre l'hyperbole d'équation y = 1/x, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = a , a pouvant prendre différentes valeurs . On note A(a) cette aire.

2. Soit a, b deux nombres réels avec : 1 < a < b . Alors l’aire comprise entre b et ab est A (ab) – A(b) et cette aire est égale à A(a) (En utilisant les approximations par les rectangles).
3. On définit alors la fonction ln par : pour tout réel a strictement positif : Si a > 1, ln a = A(a) . Si a < 1 , ln a = – A(a) . Par la question 2, on en déduit la propriété fondamentale de la fonction ln : ln(ab) = lna + lnb . 4. Regardons un aspect fonctionnel de cette aire : On peut dire que si h est très petit, A(a+h) – A(a) = h × f(a) ( aire hachurée à droite considérée comme celle d’un rectangle de hauteur f(a) si 1 A a h A a 1 , soit = h très petit ), soit A(a+h) – A(a) = h × a a h a 1 Ce qui signifie que la dérivé de la fonction aire en a est . De plus cette fonction aire est nulle en a = 1. a B. La fonction logarithme népérien 1. Définition : La fonction logarithme népérien est défini pour tout x > 0, et est noté ln; l'image de x est lnx . 1 Pour tout x de ]0; + [ , ( ln x ) ’ = . x De plus, ln 1 = 0 Conséquences : 1 ( ln x )’ = et ln x défini si x > 0 , donc la dérivée de ln est strictement positive, donc la fonction ln est strictement x croissante. On obtient donc le tableau de variation suivant :

a+h

A o 2 4 6

La tangente en 1 a pour coefficient directeur 1 !

2. Propriétés algébriques : Pour tous nombres réels x et y strictement positifs : a) ln ( x y ) = ln x + ln y ; b) ln (x × x) = ln x + ln x , soit ln ( x 2) = 2 ln x ; c) Pour