année universitaire 2011/2012

Université El Hadj Lakhar Batna Département Maths-Informatique

1 année LMD Analyse 01

Logarithmes et exponentielles
I Fonction logarithme népérien y 1 0 1 x

• Définition et graphe Elle est définie pour x > 0 par : 1 ∀x > 0 (lnx) = · x Elle est strictement croissante. lim+ ln x = −∞; lim ln x = +∞. x→0 x→+∞

ln 1 = 0 ;

L'unique solution de l'équation ln x = 1 est notée e (e ≈ 2,718 ). • Propriétés algébriques ∀a > 0 ∀b > 0 ∀r ∈ Q ln (ab) = ln a + ln b • Convexité ; ln (a r ) = rln a ; ln a b = ln a − lnb .

La fonction ln est concave sur ]0,+∞[, ce qui entraîne : ∀x > −1 ln (1 + x) x . La dérivée en x = 1 étant égale à 1, on a aussi : ln (1 + x) ∼ x .
0

II Fonction exponentielle
• Définition et graphe C'est la fonction réciproque de la fonction ln. Elle est définie sur R, à valeurs dans ]0,+∞[, strictement croissante. Elle est notée exp, ou x → ex . ∀x ∈ R (ex ) = ex ; lim ex = 0 ; lim ex = +∞ . x→−∞ x→+∞

y

1 0 1 x

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Analyse en 30 fiches

année universitaire 2011/2012
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Université El Hadj Lakhar Batna Département Maths-Informatique

1 année LMD Analyse 01

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Propriétés algébriques ∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀r ∈ Q ea+b = ea × eb ; era = (ea )r ; e−a = 1 ea ; ea−b = ea · eb

•

Convexité La fonction → ex est convexe sur R, ce qui entraîne : ∀x ∈ R 1 + x ex . La dérivée en x = 0 étant égale à 1, on a aussi : ex − 1 ∼ x.
0

III Logarithme et exponentielle de base a
• Logarithme de base a / La fonction logarithme de base a (a > 0 ; a = 1), est la fonction définie par : ∀x > 0 Sa dérivée est : (loga x) = loga (x) = ln x · ln a

1 1 × · ln a x Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction ln. Si a = 10, loga est le logarithme décimal. On le note log. • Exponentielle de base a La fonction exponentielle de base a (a > 0), est la fonction définie par : ∀x ∈ R
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expa (x) = a x = ex ln a .

/ Pour a = 1, c'est la