Devoir maison no 1∗ : les nombre complexes
Exercice 1 On considère l’application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe 2 − iz f (z) = . 1−z L’exercice étudie quelques propriétés de f . − → Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O , → , − ) d’unité graphique 2 cm, dans u v lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1) et 2). A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe −2i. 1) On pose z = x + iy avec x et y réels. écrire f (z) sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tels que f (z) soit un imaginaire pur et représenter cet ensemble. 2) On pose z ′ = f (z).

a) Vérifier que i n’a pas d’antécédent par f et exprimer, pour z ′ différent de i, z en fonction de z ′ . b) M est le point d’affixe z (z différent de 1) et M ′ celui d’affixe z ′ (z ′ différent de i). ′ Montrer que OM = M ′ C où C et D sont les points d’affixes respectives 2 et i. MD z′ − 2 . On pourra commencer par calculer ′ z −i c) Montrer que, lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image M ′ appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement. d) Montrer que, si M est un point de l’axe des réels d’affixe a ∈ , différent de O et de A, alors M ′ appartient à la droite (CD). On pourra commencer par calculer l’affixe de −− −→ −− −→ M ′ C puis de M ′ D .

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Exercice 2 algorithmique et programmation 1) Le programme suivant renvoie la partie réelle et la partie imaginaire du produit de X + iY par Z + iT : : Prompt X,Y,Z,T : Disp X*Z-Y*T,Y*Z+T*X Expliquer pourquoi ce programme donne bien le résultat souhaité. 2) En s’inspirant du programme précédent, écrire un programme qui prend un complexe 1 Z = X + iY en entrée et renvoie la partie réelle et la partie imaginaire de . Z 3) Écrire un programme qui prend un complexe K = X + iY et un entier N en entrée et renvoie la partie réelle et la partie imaginaire de K N . On utilisera une boucle For(I,...). Application : en utilisant ce