1. On calcule de deux manières différentes l'expression .On utilisera en particulier et l'expression de . .
2. On fera attention à l'angle choisi pour calculer ce périmètre.

3.On projette le vecteur position exprimé dans la base polaire dans la base cartésienne. , 4.L'utilisation d'identités trigonométriques permet d'obtenir des résultats plus simples.

5.On utilise l'expression du vecteur position dans la base polaire.

6. On exprime le vecteur vitesse dans la base de Frenet.

7. On prendra garde à ne pas confondre le vecteur tangentiel et le vecteur orthoradial qui ne sont égaux que dans le cas d'un mouvement circulaire ou rectiligne.
En égalisant les expressions du vecteur vitesse obtenues dans les questions précédentes, on trouve après simplifications: 8. On exprime de deux manières différentes la dérivée du vecteur tangentiel par à l'abscisse curviligne s. Le passage à la norme de l'égalité obtenue permet de déterminer le rayon de courbure.

Enonçé :
M1.1. Cardioïde.
Un mobile, supposé ponctuel, décrit la courbe plane dont l'équation en coordonnées polaires ( r,) est : r = (a/2) ( 1 + cos ) où a désigne une longueur donnée.
1.Exprimer, en fonction de l'angle polaire , l'abscisse curviligne s du mobile, comptée à partir du point A qui correspond à = 0. Pour quel angle polaire a-t-on s = a?
2.En déduire le périmètre P de la trajectoire.
On considère pour les questions suivantes que l'angle varie avec le temps selon la loi horaire : (t) = t avec  = Cte.
3.Exprimer les coordonnées paramétriques cartésiennes du mobile en fonction du temps.
4.Exprimer en fonction du temps les coordonnées paramétriques cartésiennes du vecteur vitesse.
5.Exprimer en fonction du temps le vecteur vitesse et le vecteur accélération en coordonnées polaires.
6.Exprimer en fonction du temps les vecteurs vitesse et accélération dans la base de Frenet. On introduira le rayon de