Lycée Camille SEE 2002 / 2003

DERIVATION

T.ES

I - NOMBRE DERIVE

f est une fonction définie sur un intervalle I. a et x = a + h sont deux valeurs distinctes de I. A ( a, f (a)) et M ( x, f (x)) sont deux points de la courbe représentative de la fonction. f ( x) − f (a) Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est m = , c’est le x−a taux de variation de la fonction entre a et x.
M A M
O

A

A

a h

x

O

a h

x=a+h

O

h

Lorsque M devient de plus en plus proche de A, mais M ≠ A et si m a une limite quand x tend vers a alors cette limite est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe. Autrement dit : Le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe est f ( x) − f (a) l = lim pourvu que cette limite existe. Dans ce cas, le nombre l est x→a x−a appelé dérivée de la fonction f au point a. On le note f’ (a). En posant x = a + h on obtient une autre forme pour l’expression de la dérivée de la f ( a + h) − f ( a ) fonction f au point a f '(a ) = lim . h→0 h Définition 1. La limite finie de l’accroissement moyen de la fonction f entre a et a + h , quand h tend vers 0, est le nombre dérivé de f en a, noté f’ (a) : f ( a + h) − f ( a ) f '(a ) = lim h→0 h Le nombre dérivé de f en a étant le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point A d’abscisse a , nous pouvons en déduire l’équation de la tangente à la courbe au point A Définition 2. Soit A ( a, f (a)) un point de la courbe représentative de la fonction f , l’équation de la tangente en A à la courbe est : y = f’ (a) ( x − a ) + f (a)
Exemple : Soit f la fonction définie sur d’abscisse − 2 ? par f (x) = x 2. Quelle est l’équation de la tangente au point M

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DERIVATION
Le coefficient directeur de la tangente en M est :

T.ES

M

f (−2 + h) − f (−2) (−2 + h)2 − (−2) 2 = lim h →0 h →0 h h 2 2 h − 4h + 4 − 4 h − 4h = lim = lim = lim h − 4 = −4 h →0 h →0 h →0 h h L’équation de la