DÉRIVATION
1. Nombre dérivé d’une fonction en un point
Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle.
1) Qu’est-ce que le nombre dérivé de f au point a ?
Définition
Le nombre dérivée de la fonction f au point a est par définition la pente de la tangente, si elle existe, à la courbe représentative de f au point d’abscisse a.
Il se note f’(a).
Exemple
On considère la fonction f suivante, dont la représentation graphique est donnée ci-après :

La fonction f est définie sur ....................... f’(–8) = f’(–4;5) = f’( –1) = f’(2) = f’(7) = f’(9) =
Remarque
Demeure un problème important que nous aborderons plus tard : comment détermine-t-on mathématiquement la pente de la tangente à une courbe en un point ?
2) Comment obtenir l'équation de la tangente en un point A d'abscisse a ?
On suppose la fonction f dérivable en a : elle admet donc une tangente au point A d'abscisse a, d’équation y = mx + p. Déterminons m et p. m est la pente de la droite : on a donc m = f’(a).L’équation de la tangente est donc y = f '(a) x + p
Par ailleurs, elle passe par le point A de coordonnées (a;f(a)). Les coordonnées de A vérifient donc l’équation : f(a) = f’(a) a + b d’où on tire b = f(a) – f’(a) a.
L’équation de la tangente est donc y = f’(a) x + f(a) – f’(a) a que l’on peut réordonner en : y – f(a) = f’(a)(x – a)

2. Fonction dérivée
1) Définition.
On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque, pour tout réel de l’intervalle I, le nombre dérivé de f en x existe.
Par définition, la fonction dérivée f’ est la fonction qui à tout réel x de l’intervalle I associe f’(x), nombre dérivé de f en x.
Exemple
On considère la fonction carré, définie sur  par f(x) = x2. Soit a un nombre réel quelconque. La pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse a est 2a ; le nombre dérivé de la fonction f en a est f’(a) = 2a.
La fonction f est donc dérivable sur 