Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée :
DÉFINITION

• Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a, f est dérivable en a si lim

h→0

f (a + h) − f (a) existe h

et est égale à un réel que l’on appelle alors nombre dérivé de f en a et que l’on note f (a). • Si f est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que f est dérivable sur I et on appelle dérivée de f la fonction, notée f , qui à tout a de I associe f (a), le nombre dérivé de f en a. Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (a + h) − f (a) (a + h)2 − a2 a2 + 2ah + h2 − a2 Pour tout a , lim = lim = lim = lim 2a + h = 2a. f est donc dérivable en a et h→0 h→0 h→0 h→0 h h h f (a) = 2a. On dit que f est dérivable sur R et que sa fonction dérivée est définie par f (x) = 2x.

2 Dérivées des fonctions usuelles :
Fonction f (x) = a Fonction dérivée f (x) = 0 pour tout x de R Exemples f (x) = 3 ⇒ f (x) = 0

f (x) = x ⇒ f (x) = 1 f (x) = ax + b f (x) = a R f (x) = 2x − 4 ⇒ f (x) = 2

f (x) = x2 ⇒ f (x) = 2x f (x) = xn (n entier 2) f (x) = nxn−1 R f (x) = x3 ⇒ f (x) = 3x2 1 x 1 x2

f (x) =

f (x) = −

R∗

f (x) = f (x) = 1 (n entier xn 2) f (x) = − n xn+1 R∗ f (x) =

2 1 ⇒ f (x) = − 3 x2 x 1 3 ⇒ f (x) = − 4 3 x x

f (x) =

√

x

1 f (x) = √ 2 x f (x) = cos x

]0; +∞[

f (x) = sin x

R

f (x) = cos x

f (x) = − sin x

R

1S - Dérivation

c P.Brachet - www.xm1math.net

1

3 Etude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :
Avertissement : Nous utiliserons par souci de simplification le traditionnel et affreux abus de langage qui consiste par exemple à dire que la dérivée de x2 est égale à 2x (alors que nous devrions dire en fait que la dérivée de la fonction qui à x associe x2 est la fonction qui à x associe 2x). Il ne faut jamais oublier que l’on ne doit pas confondre une fonction f avec f (x) (l’image de x par f qui est un réel) et que la dérivée f est elle-même une