Tp1

Equipe 7376



Equation de transport avec conditions aux limites périodiques
Equipe 7376: KHALIL Youness 12 novembre 2012

EDP et diérences nies

de

l'équation de transport

Le présent Tp permet de décrire et étudier plusieurs méthodes numériques de résolution .

Cette dernière se présente de la façon suivante :

∂t u + c∂x u = 0

∀(x, t) ∈ R∗]0, T [

Avec

u(x, 0) = u0(x)

∀x ∈ R

Remarques générales

 Pour chacun des schémas proposés, on essayera de donner les résultas théoriques liées à la stabilité et à la consitance, ces résultats seront suivis par des observations pratiques issues de l'implémentation du chier tp1.m qui sera fourni avec le présent rapport.  Dans toutes les gures inclues dans ce rapport, la courbe en bleu, représente la solution absolue et celle en rouge représente le modèle étudié.  Les calculs ne sont détaillés que dans quelques schémas, pour les autres, on s'est contenté de donner directement les résultats théoriques.  Pour la condition initiale, on s'est contenté d'utiliser une parmi celles données.  Une comparaison entre les schémas les plus signicatifs sera faite à la n du rapport.

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1.

Question 1 - Dans cette première question, on traîte le schéma d' dont l'implémentation a été donné dans le chier tp1.m.

Euler explicite

Il s'agit du schéma suivant : un+1 −un j j δt

+c

un −un j+1 j−1 2δx

=0

i.e

un+1 = un − 0.5λ(un − un ) j j+1 j−1 j

Ordre de Consistance : Ce schéma est d'ordre 1 en temps et 2 en espace.
En eet, On a :

∂x u(x, t) =
De plus, Ainsi L'Erreur de troncature est :

u(x+δx,t)−u(x−δx,t) 2δx u(x,t+δt)−u(x,t) δt

+ O(δx2 )

∂t u(x, t) =

+ O(δt)

n Ej = O(δx2 + δt)

Stabilité L2 : On utilise la méthode de Von Neuman : On trouve après calcul :
A(k) = (1 − iλ sin(k)) i.e |A(k)|2 = 1 + (λ sin(k))2 avec k = 2πνδx.

Le terme A(k),en module, est toujours supérieur à 1 , par conséquent Ce shèma est