LYCÉE FABERT Classe de TS 10

M. B OURGEOIS

D EVOIR EN C L ASSE N °1
Jeudi 18 Septembre 2008 - Durée : 1 heure 30 min. L’usage de la calculatrice est autorisé. (9 points) 3 3 (u n ) est la suite définie par u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+1 = 4 − . 2 un →→ − − 1. a) On a tracé, dans un repère orthonormal (O; i , j ), la courbe C représentant la fonction f définie 3 sur ]0; +∞[ par : f (x) = 4 − . x

E XERCICE N°1

3

2

1

→ − j

0 -1

O 0

→ − i

1

2

3

-1

Utiliser ce graphique pour placer sur l’axe des abscisses et sans effectuer de calculs les termes u 0 , u 1 , u 2 et u 3 . Emettre une conjecture sur le sens de variation de la suite (u n ). b) Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N, 1 u n 3. (u n − 1)(3 − u n ) . c) Établir que pour tout n ∈ N, u n+1 − u n = un

d) À l’aide des deux questions précédentes, déterminer le sens de variation de la suite (u n ). 2. a) Soit maintenant la suite (v n ) définie pour tout n ∈ N par : v n = 1 Prouver que (v n ) est une suite géométrique de raison . 3 b) Montrer (en détaillant le calcul) que pour tout n ∈ N, u n = c) Exprimer, pour tout n ∈ N, v n puis u n en fonction de n. d) En déduire la limite de (u n ). un − 3 . un − 1

3 − vn . 1 − vn

E XERCICE N°2
1. Restitution Organisée de Connaissances

(5 points)

a) Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle [a ; + ∞[. Compléter la phrase suivante : « Dire que f admet une limite finie en +∞ signifie . . . » b) Démontrer le théorème des gendarmes : « Si f , g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle [a ; +∞[ et un nombre réel tels que les fonctions g et h aient pour limite commune quand x tend vers +∞, et que pour tout x ∈ [a ; +∞[, g (x) f (x) h(x), alors la limite de f quand x tend vers +∞ est égale à .» 2. Application Déterminer la limite de la fonction f : x → x 2 sin 1 en 0. x x
3

E XERCICE N°3
Soit f la fonction définie sur R − {−2; 1} par : f (x) =

(6 points)

. →→ − − On note C f sa