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Pages: 7 (1719 mots) Publié le: 15 juillet 2014
Fiche Exercices

Nº : 32002

MATHEMATIQUES

Série S

LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE

Fiche 2 : Les fonctions
Calculer des limites
Méthode :
On commence par analyser f (x). Peut on directement appliquer l’un des théorèmes du cours (limites et opérations, théorèmes de
comparaison) ?
Dans la négative, il est nécessaire de donner à f (x) une nouvelle expression relevant de cesthéorèmes. Cette nouvelle expression
peut être obtenue en imposant à la variable une condition compatible avec la recherche de la limite : condition du type x > x 0 pour
une étude en + ∞, condition du type x < x 0 pour une étude en − ∞, condition du type |x| < α pour une étude en zéro . . .
On doit distinguer soigneusement la phase « recherche d’une expression convenable de f (x) » de la phase « passage àla limite » :
les enchaînements du genre lim f ( x ) = lim g ( x ) = ... sont prohibés car l’égalité xlima f ( x ) = xlima g ( x ) n’a de sens que lorsque l’on


x →a

x →a

lim
a précédemment établi qu’il existe  tel que xlima f ( x ) =  et x → a g ( x ) =  .

Dans les cas où x tend vers + ∞ ou − ∞, mettre en facteur les termes « les plus puissants » est toujours pertinent.Exercice 1
Déterminer le comportement asymptotique de la fonction f en a dans les cas suivants :
a) f (x) = 4 x 3 si n 2 x − x + 5 pour tout x et a = + ∞ ;
b) f (x) =

x 2 −1+ x
pour x ≥ 0 et a = + ∞ ;
2 x 2 − x +1

c) f (x) =

x 2 + 2 x + 5 + x pour tout x et a = − ∞ ;

d) f (x) =

2 x 2 + x + 5 − x pour tout x et a = + ∞ ;

e) f (x) =

2 c os 2 x −1
π
π
pour x ≠ et a = .
6x−π
6
6

Montrer qu’une droite est une asymptote oblique
Méthode :
Selon le programme, l’équation de l’asymptote doit être donnée ou au moins suggérée. On se trouve alors face à l’étude d’une
forme indéterminée du type « + ∞ − ∞ ».
Ne pas oublier que lim ( f ( x ) − a x ) = b équivaut à x lim∞ ( f ( x ) − (a x + b )) = 0 , avec a et b réels . . .
→+
x → +∞

Exercice 2
On considère lafonction f : x

4 x 2 − 4 x + 5 définie sur

.

Déterminer la limite en + ∞ de la fonction x
4x −4x +5 −2x .
En déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote dont on donnera une équation.
2

Etudier la dérivabilité d’une fonction sur un intervalle
Méthode :
On analyse l’expression qui définit la fonction, et on applique au mieux les conditions suffisantes de dérivation(somme, produit,
composée . . . ). On détermine ainsi que la fonction est dérivable dans un intervalle J . Lorsque cet intervalle est égal à l’intervalle I
sur lequel la fonction est définie, l’étude est terminée. Sinon, on doit étudier la dérivabilité en tout point de I qui n’appartient pas
à J , cette fois à l’aide de la définition dérivabilité.
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Fiche Exercices

Nº : 32002

MATHEMATIQUES

Série S

LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE

Exercice 3
Etudier la dérivabilité :
a) de la fonction f définie par f (x) = x x pour x ≥ 0 ;
b) de la fonction g définie par g (x) =

x 2 −1 pour x ≤ −1.

Optimiser
Méthode :
Il s’agit d’étudier les variations d’une fonctionpour établir qu’elle admet un extremum.
Exercice 4
On désigne par (C) la courbe d’équation y = x 2 et par A le point de coordonnées (0,1). Déterminer le point B de la courbe,
d’abscisse positive, qui est le plus proche du point A.

Etablir une inégalité sur un intervalle
Méthode :
Lorsque il est impossible de régler le problème par le calcul algébrique on met l’inégalité considérée sous l’unedes deux formes
f (x) ≥ 0 ou f (x) > 0 et on étudie les variations de la fonction f sur l’intervalle. En principe la fonction f est monotone sur l’intervalle
et doit donc donner une image positive à l’une des bornes de celui-ci. . .
Exercice 5
Montrer que : x −

x3
≤ sin x ≤ x pour tout x positif.
6

Résoudre une équation
Méthode :
Lorsqu’une résolution algébrique est impossible on...
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