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Exercice

La fonction f définie sur R à valeurs dans R par :
∀x ∈ R ,

f (x) = x2 + 3x .

est polynomiale du second degré.
Elle est aisée à étudier. Son graphe est une parabole comme toutes les représentations graphiques de polynômes du second degré. Ses limites sont respectivement : lim f (x) = +∞

x→−∞

;

lim f (x) = +∞ .

x→+∞

La dérivée de f se calcule aisément : f (x) = 2x + 3
Ainsi, il est aisé de trouver la valeur du minimum, valeur annulant la dérivée ci-dessus : f (x) = 2x + 3 = 0 =⇒ x = −

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2

L’étude du signe de la dérivée f : négative pour x < −3/2, nulle en X = −3/2, et positive pour x > −3/2 permet de dire qu’ipso facto la fonction f est décroissante pour x < −3/2, croissante pour x > −3/2 et atteint son minimum pour X = −3/2, et ce minimum vaut : f (−3/2) = −9/4.
Il ne reste qu’à tracer son graphe (une parabole) ci-dessous :

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Je viens de recevoir ton dernier message avant que tu ailles faire tes courses. Alors, d’après l’étude simplissime que j’ai faite et la graphe ci-dessous, il est aisé de répondre aux trois questions suivantes :
1. Sur R, f n’est ni croissante, ni décroissante. Elle est décroissante sur ] − ∞, −3/2], et croissante sur [−3/2, +∞[. Donc réponse négative sur ce premier item.
2. f n’est pas décroissante que [2, +∞[ (voir graphique). Donc réponse négative sur ce second item.
3. f n’est pas décroissante sur [0, +∞[ (voir graphique). Donc réponse négative sur ce troisième item.