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Pages: 8 (1808 mots) Publié le: 2 janvier 2015
Université Mohamed V—Agdal

Correction du Contrôle Final
en Programmation Linéaire

Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales, Rabat
Filière des Sciences économiques
http://www.fsjesr.ac.ma

Semestre S5 / Option : Économie
Professeure : Amale LAHLOU

Session Automne-Hiver 2011/2012

http://www.amalelahlou.net/

Exercice 1 :
Modéliser le problème suivant en unprogramme linéaire ?
Un éleveur d'animaux dispose de trois types de grains pour nourrir ses animaux. Chaque type de grains
comporte différentes quantités de quatre éléments nutritifs telle que spécifiées dans le tableau ci-dessous.
L'éleveur spécifie également la quantité hebdomadaire minimale de chaque élément nutritif requise pour nourrir
ses animaux. Le coût au kilo de chacun des grains estspécifié. Le problème de l'éleveur est de déterminer la
quantité de chaque type de grains pour satisfaire les quantités minimales requises d'éléments nutritifs pour
minimiser le coût total.

Élément nutritif
A
B
C
D
Coût
(Unité Monétaire au kg)

1kg
Grain
1
2
1
5
0.6

1kg
Grain
2
3
1
3
0.25

1kg
Grain
3
7
0
0
1

41

35

96

Quantités
Hebdomadaire
minimale1250
250
900
232.5

Réponse : La formalisation mathématique de ce programme linéaire est :
Identifications des variables de décision :
soient,
: le nombre de chaises du modèle 1 à fabriquer d’ici trois semaines
: le nombre de chaises du modèle 2 à fabriquer d’ici trois semaines
Fixation des objectifs à atteindre :
Maximisation du profit tiré au cours des trois prochaines semaines :
Miseen équations des contraintes économiques :
Les variables

et

sont limitées par sept contraintes technologiques :

 Contraintes de demande : il faut exiger que le plan de production satisfasse les commandes fermes,
sans excéder le marché potentiel,

 Contrainte de brasage : le temps utilisé pour braser les chaises à fabriquer ne peut excéder les 250 heures
disponibles,

Contrainte de laquage : le temps utilisé pour le laquage des chaises à fabriquer ne peut excéder les 100
heures disponibles,

 Contrainte de capitonnage : le temps utilisé pour le capitonnage des chaises à fabriquer ne peut excéder
les 327 heures disponibles,
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Correction du Contrôle Final en Programmation Linéaire

Restriction des signes :

Semestre S5 / Option: Économie

etModèle mathématique :
Nous sommes en présence d’un programme linéaire écrit sous la forme :

Exercice 2 :
Via une représentation graphique, quel est le plan optimal du programme linéaire suivant ?

Réponse 2 :
Sur l’orthant positif du plan

on trace tout d’abord les 4 droites pour marquer les 4 demi-plans relatifs

aux 4 contraintes :
L’inéquation
est le demi-plan contenant l’origine.L’inéquation

La droite (1)
La droite (2)

est le demi-plan contenant l’origine.
L’inéquation

La droite (3)

est le demi-plan contenant l’origine.
L’inéquation
est le demi-plan contenant l’origine.

Soit maintenant la droite

x1

0

14

x2

2

23

x1

0

18

x2

28

1

x1

18

8

x2

15

0

La droite horizontale (4)

représentant lafonction-objectif

Traçons la fonction-objectif

passant par l’origine :
On a

Professeure : Amale LAHLOU

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2011/2012

Correction du Contrôle Final en Programmation Linéaire

Le coefficient directeur de la droite

Semestre S5 / Option: Économie

est

, c’est-à-dire, si on se déplace de 1 unité sur l’axe positif

des x1 alors on descend de 3 unités sur l’axe des x2.

Les deuxdroites

et

La valeur limite pour

sont parallèles. Si on déplace

vers la droite, la valeur de

augmente.

est obtenue pour la droite passant par le point .

30

x2

25
20
15

B

C

10

D
5

A

0
-5

O

0

5

E 10

x1
15

20

25

-5
-10
-3 x1 + 2 x2 = 4

3 x1 + 2 x2 = 56

3 x1 - 2 x2 = 24

x2 = 12

9 x1 + 3 x2 = 0

9 x1 + 3 x2 =...
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