Exercice sur les suites
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Exercice Partie A On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12. Le point An +1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An, 1) et (Bn, 3). 1) Sur un graphique, placer les points A1, B1, A2, B2. 2) On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn. 2a + bn . Montrer que : an +1 = n 3 a + 3bn On admet de même que bn +1 = n . 4 Partie B 1) On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un = bn − an. a) Montrer que la suite (un) est géométrique. En préciser la raison. b) Donner l’expression de un en fonction de l’entier naturel n. c) Déterminer la limite de (un). Interpréter géométriquement ce résultat. 2) a) Démontrer que la suite (an) est croissante (on pourra utiliser le signe de un). b) Étudier les variations de la suite (bn). 3) Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites (an) et (bn)? Partie C 1) On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 3an + 4bn. Montrer que la suite (vn) est constante. 2) Déterminer la limite des suites (an) et (bn).Exercice On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel non nul, par n n n un = + +…+ . n² + 1 n² + 2 n² + n n² n² 1) Démontrer que, pour tout entier naturel non nul, on a : ≤ un ≤ . n² + n n² + 1
2) En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.
Exercice W0 = 1 Soit (Wn ) la suite définie pour tout entier naturel n ≥ 0 par : Wn +1 = Wn + 2n + 3
1) Calculer W1, W2, W3. Vérifier que W4 = 25 . 2) Etudier le sens de variation de la suite (Wn )n≥0 . 3) Conjecturer une expression de Wn en fonction de n. 4) Démontrer cette expression par récurrence.
Exercice On considère la suite (U n ) définie par : U 0 = 2 2 U n +1 = 1 + U n − 2U n + 4 On admet que (U n ) est