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Exercices de récurence par récurrence

2356 mots 10 pages
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Ce document 1 contient quelques exercices corrigés sur le raisonnement par récurrence. Il peut contenir quelques bugs ... Merci de me les signaler cuvelier@math.univ-paris13.fr
1 Raisonnement par récurrence
Exercice 1.1
Montrez par récurrence que pour tout n P N n ÿ k“0 k “ npn` 1q
2
.
Correction Exercice Soit n P N. On note P la propriété portant sur n
Ppnq :
ˆ n ÿ k“0 k “ npn` 1q
2
˙
.
Nous allons démontrer par récurrence que @n P N, Ppnq est vraie.
Initialisation : Montrons que Pp0q est vraie. …afficher plus de contenu…

Nous allons démontrer par récurrence que @n ě 2, Qpnq est vraie.
4Initialisation : Montrons que Qp2q est vraie.
On a u0 “ 1, u1 “ 4 (par dé�nition) et u2 “ 2u1´u0 “ 7. Comme 3ˆ1`1 “ 4, et 3ˆ2`1 “ 7,
Qp2q est véri�ée.
Itération : Soit n ě 2. Supposons que Qpnq vraie et montrons alors que Qpn` 1q est vraie.
Pour que Qpn` 1q soit vraie il faut démontrer que un`1 “ 3pn` 1q ` 1 et un “ 3n` 1.
Or Qpnq vraie entraine que un “ 3n ` 1 et un´1 “ 3pn ´ 1q ` 1. Le terme n ` 1 de la suite étant dé�ni par un`1 “ 2un ´ un´1 on obtient alors un`1 “ 2un ´ un´1
“ 2p3n` 1q ´ p3pn´ 1q ` 1q
“ 6n` 2´ 3n` 2 “ 3pn` 1q ` 1
Qpn` 1q est donc vraie.
Conclusion : On a donc démontrer par récurrence double que Qpnq est vraie pour tout n P …afficher plus de contenu…

. .` vn´1 “ n´1 ÿ k“0 vk. (3)
De plus, nous avons démontré dans l'exercice 7.5 que
@x P Rzt1u, @n P N, n ÿ k“0 xk “
1´ xn`1
1´ x
. (4)
On note P la propriété portant sur n ě 1 (1 est le premier indice où la formule de récurrence intervient dans le calcul de vn).
Ppnq : vn “ 2n´1.
On va démontrer par récurrence forte que, pour tout n ě 1, Ppnq est vraie.
Initialisation : Montrons que Pp1q est vraie.
On a v0 “ 1 et v1 “
1´1
ÿ k“0 vk “ v0 “ 1.
Donc Pp1q est véri�ée.
Itération : Soit n ě 1. Supposons que, @k P N, 1 ď k ď n, Ppkq vraie (récurrence forte) et montrons alors que Ppn` 1q est vraie.
Pour que Ppn`1q soit vraie il faut démontrer que si la suite vn est dé�nie par (2) alors vn`1 “ 2n.
Par dé�nition, on

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