markov
12782 mots
52 pages
Chaînes de MarkovArthur Charpentier
École Nationale de la Statistique et d’Analyse de l’Information
- notes de cours à usage exclusif des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer -
1
Quelques motivations
1.1
La sentinelle de la tour carrée
Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide d’une matrice de transition, /N/ /E/ /S/ /O/
0 1/2 0 1/2
N
P = E 1/2 0 1/2 0
S 0 1/2 0 1/2
1/2 0 1/2 0
O
1.2
Le système bonus-malus en assurance auto
A Hong Kong, il existe 6 classes de tarification, de 1 (fort bonus) à 6 fort malus
• si un assuré n’a pas eu de sinistre, il passe de i à max{1, i − 1},
• si l’assuré a eu au moins un sinistre, il passe de i à 6.
Si p est la probabilité de ne pas avoir
p 0
p 0
0 p
P =
0 0
0 0
0 0
de sinistre,
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
p
0
1−p
1−p
1−p
1−p
1−p
1−p
0.2
0.2
0.0
0.4
0.6
0.8
1.0
Proportion par classe en fonction de n, p=80%
0.0
0.4
0.6
0.8
1.0
Proportion par classe en fonction de n, p=90%
0
0
0
0
0 p • si un assuré n’a pas eu de sinistre, il passe de i à max{1, i − 1},
• si l’assuré a eu k sinistres, il passe de i à min{6, i + k}.
Si le nombre de sinistres suit une pk = p0 + ... + pk ,
p0
p0
0
P =
0
0
0
loi de Poisson pk = P(N = k) = e−λ λk /k!, k ∈ N, et p1 p2
0 p1 p0 0
0 p0
0 0
0 0
p3 p2 p1
0
p0
0
1.3
1 − p4
1 − p3
1 − p2
1 − p1
1 − p0
1 − p0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Proportion par classe en fonction de n, 35%
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Proportion par classe en fonction de n, 10%
p4 p3 p2 p1 0 p0 La ruine d’un joueur
Deux joueurs