Epreuve sur Dossier

CAPES Mathématiques

ESD 2011 – 10 : Problème de construction
1. Le sujet
Voici une traduction en langage contemporain d’un document du XVIIème siècle écrit par le mathématicien hollandais Samuel Marolois (1572-1627).

Soit ABCD un rectangle et F le milieu de [AC]. Le cercle de centre A et de rayon AF coupe [AB] en E. Le cercle de centre B et de rayon BF coupe la perpendiculaire à [AB] passant par E en G. GE est la longueur du côté d’un carré dont l’aire est égale à l’aire du rectangle ABCD.

Justifier la dernière affirmation du texte. Les solutions proposées par deux élèves Elève 1 : Je fais une figure avec 4 cm et 7 cm et je vais démontrer que l’aire du carré vaut 28 cm2. Avec le théorème de Pythagore dans le triangle BAF j’ai : BF 2 = AB 2 + AF 2 = 49 + 4 Donc : BF 2 = 53 , BF = 53 = 7,28 .
Dans le triangle rectangle EBG, j’ai : GB 2 = EB 2 + EG 2 , 7,28 2 = 25 + EG 2 . J’obtiens EG = 5,29 donc l’aire du carré est 27,98. Les deux aires sont égales.
Elève 2 : J’ai mesuré sur le dessin et j’ai trouvé 2,8 cm et 5,3 cm. Je vais démontrer que GE 2 = 14,84 cm 2 Pythagore dans le triangle EGB : 14,84 = GB 2 − EB 2 = FB 2 − 15,21 . Or FB 2 = 30,05 (Pythagore dans le triangle FAB). D’où 14,84 = 30,05 − 15,21 vrai.

Le travail à exposer devant le jury 1. Analyser la production de chaque élève en mettant en évidence les compétences acquises et celles non acquises. 2. Quel peut être selon vous l’intérêt d’étudier des notions à travers une approche historique ? 3. Exposez une correction de l’exercice comme vous le feriez devant une classe de troisième. 4. Présentez deux ou trois problèmes de construction dont l’un au moins met en jeu un logiciel de géométrie dynamique.

G. Julia, 2012

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2. Eléments de correction
Le but de l’exercice (son intitulé aurait pu être « quadrature du rectangle ») est de « construire un carré dont l’aire est égale à celle d’un rectangle donné ». Ce qui