Exos mpsi
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exercice 1 : 1) soit f une fondtion croissante de R dans R telle que : f(1)=e et ∀(x, y) ∈ R2 , f(x) f(y) = f(x + y) a) calculer f(0) 1 b) Montrer que , pour tout x ∈ R , f(x) = 0 et f(−x) = f(x) c) Montrer que , pour tout x ∈ R , f(x) > 0 d) Montrer que , pour tout x ∈ R et tout n ∈ N , f(nx) = (f(x))n e) Montrer que , pour tout p ∈ Z, f(p) = ep f) Montrer que , pour tout r ∈ Q, f(r) = er g) Calculer f(x) pour tout x r´el. e 2) D´crire l’ensemble des fonctions croissantes f : R → R e telles que : ∀(x, y) ∈ R2 , f (x) f (y) = f (x + y) . exercice 2 : On pose f(x) = exx si x = 0 et f (0) = 1 −1 2 3 On admet que ex = 1 + x + x + x + x3 ε(x) au voisinage de 0 , avec 2 6 ε(x) qui tend vers 0 quand x tend vers 0 , soit 2 3 ex = 1 + x + x + x + o(x3 ) au voisinage de 0 2 6 C d´signe la courbe repr´sentative de f dans le rep`re orthonorm´ direct e e e e − − → → (O, i , j ). 1) a) Montrer que f est d´rivable en 0 et pr´ciser f ′ (0). e e b) Donner une ´quation cart´sienne de la tangente T ` C au point e e a d’abscisse 0 et pr´ciser la position de C par rapport ` T au voisinage de 0. e a Faire une figure. . 2) On consid`re l’´quation diff´rentielle e e e x ′ x (E) : (e − 1) y + e y =1 a) R´soudre (E) sur chaque intervalle ]-∞, 0[ et ]0,+∞[. e b) R´soudre (E) sur R. e . ´ 3) a) Etudier la limite de f (x) + x quand x tend vers -∞. ´ b) Etudier , pour tout x < 0, la signe de f (x) + x. c) Faire l’´tude des asymptotes pour f . e . 4) On pose g(x) = f (x) − 1 + x , ∀x ∈ R 2 a) Montrer que , ∀x = 0 , f (x) = x 2 1 th( x ) 2−1
b) En d´duire , pour tout r´el x , une expression simple de g(x) ` l’aide de la e e a fonction t d´finie sur R par : e
1 1 t(x) = th(x) − x si x = 0 et t(0) = 0 c) Montrer que g est paire. Quelle propri´t´ g´om´trique peut-on en d´duire ee e e e pour C ? . ´ 5) a) Etudier les variations de f sur R. b) Donner l’allure de la courbe C en tenant compte des r´sultats pr´c´dents. e e e
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