Exponentielle

362 mots 2 pages
Etude de la fonction exponentielle :
1) Sens de variations :
Théorème : la fonction exp est strictement croissante sur .
Démonstration : Valable pour toute bijection strictement croissante.
Soient u et v ( IR ; on a : u = ln ( eu ) et v = ln ( ev ) .
Si u < v alors eu < ev car la fonction ln est strictement croissante ; ( lna < lnb ( a ey ( x > y ➢ ex = ey ( x = y ➢ ex > 1 ( x > 0 ➢ ex < 1 ( x < 0

2) Etude des limites :
Théorème : • [pic] • [pic]
Démonstration : • Soit M > 0 . Montrons qu’il existe A > 0 tel que si x > A , alors ex > M. Prenons A = ln M : x > A ( exp(x) > exp(ln M ) soit exp(x) > M • [pic]
3) Dérivée de exp :
Admettons que exp est dérivable sur .
Alors , ( ln o exp ) (x) = x
En dérivant les deux membres, [pic]
Donc exp’(x) = exp(x) ou encore :[pic]
Théorème : La fonction exp est dérivable sur et égale à sa dérivée. exp’(x) = exp(x) On dit que exp est une solution de l’équation différentielle y’=y.

5) Comparaison avec la fonction x ( x :
|Théorème 1 : [pic] et [pic] |Théorème 2 : [pic] |
| | |
|[pic] |[pic] |
|Or [pic] donc [pic]et [pic][pic] |[pic] |
|[pic] donc [pic] | |

6) Approximation affine de exp(x) au voisinage de 0 :

ex = e0 + 1 . x + x ( (x) avec [pic] ex – 1 = x + x ( (x) donc [pic]
Théorème

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