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1/ Les ensembles de nombres.En mathématiques nous utilisons différents ensembles de nombres :
N : les entiers naturels ou entiers positifs, ex : 6 ; 0 ; 15
Z : les entiers relatifs (positifs et négatifs), ex : 6 ; 0 ; - 4
D : les nombres décimaux, ex : 6 ; - 4 ; 8,666
Q : les rationnels, ex : - 4 ; 8,666 ; 8,666…. ; 4/3
R : les réels (tous les nombres qui existent), ex : 8,666 ; 8,666…. ; 4/3 ; 3/4 ; 7
Il y a deux représentations différentes.
Les ensembles :
[pic]
La droite numérique :
[pic]
Objectif : savoir placer un nombre sur les schémas ci-dessus.
Ces ensembles sont inclus les uns dans les autres N [pic] Z [pic] D [pic] Q[pic]R
Ce qui veut dire que 3 (par exemple) est à la fois un entier naturel, relatif, un décimal, un rationnel et un réel.
Il est important de ne pas confondre un nombre et ses écritures. [pic]
En particulier, il ne faut pas confondre "nombre décimal" et "écriture décimale". [pic]
3 ; 4 – 1 ; [pic]; [pic]; 2,99999 …. etc. ne sont pas des nombres différents mais différentes écritures du même nombre désigné en général par 3, son écriture la plus simple.
Tout nombre réel a une écriture décimale, ce qui ne veut pas dire que tout nombre réel est un nombre décimal.
Une écriture décimale peut désigner :
- un entier (3,00)
- un décimal (3,25)
- un rationnel non décimal (0,3333... = 1/3)
- un irrationnel ([pic] = 1,414...)
Pb : Comment, à partir de son écriture décimale, déterminer à quel ensemble appartient un nombre ?
1/ Si l'écriture décimale est finie, le nombre est décimal
2/ Si l'écriture décimale est infinie, elle peut être périodique ou pas.
⋄ Si elle est infinie périodique, le nombre est rationnel
a =3, 42 42 42……….. Ecrivons a sous forme de fraction. 100a = 342, 42 42………..
Pourquoi multiplier par 100 ? On multiplie par 100 pour retrouver la même partie décimale
100a – a = 99a = 339
a =339/99 = 113/33