Complément mathématique

Formulaire d’analyse vectorielle
1 Composition d’opérateurs rot grad div grad div rot 0 0

rot rot

graddiv

∆

∆

2 Composition des champs grad rot div div . grad rot grad grad grad

div . rot grad 2

grad . . rot rot

3 Théorème d’OSTROGRADSKY
. Le flux d’un champ de vecteur à travers une surface fermée est égal à l’intégrale triple de sa divergence étendue au volume intérieur de cette surface.

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Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/

4 Théorème de STOKES
. .

La circulation d’un champ de vecteur le long d’un contour fermé est égale au flux de son rotationnel à travers une surface quelconque s’appuyant sur ce contour.

5 Systèmes de coordonnées

FIGURE 1 Coordonnées cartésiennes

FIGURE 2 Coordonnées cylindriques

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Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/

FIGURE 3 Coordonnées sphériques

6 Coordonnées cartésiennes grad div rot ∆ Les vecteurs unitaires , et en chaque point, constituent des champs uniformes et ont tous une divergence et un rotationnel nuls. .

7 Coordonnées cylindriques
Seule la formule du gradient est à connaître en coordonnées cylindriques. grad div rot 1 1 1 1 1

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COMPLEMENT MATHEMATIQUE Formulaire d’analyse vectorielle 1 ; rot 0 ; div 1

Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/

∆ Vecteurs unitaires : div

0 ; rot

; div

0 ; rot

0

8 Coordonnées sphériques
Seule la formule du gradient est à connaître en coordonnées sphériques. grad div rot 1 sin 1 1 sin 1 1 sin ; rot sin 0 ; rot 1 1 sin sin 1 1 sin

1 sin

1 sin

∆

1 sin et grad .

Quelques résultats utiles : div

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