D´ecembre 2007

CAPES 2007
Oral Analyse

Formules de Taylor. Applications.

Remarques Le niveau naturel de cette le¸con est celui du Deug.
Pr´
e-requis
1. Continuit´e, d´erivabilit´e, in´egalit´e des accroissements finis, th´eor`eme de Rolle, d´erivabilit´e d’ordre sup´erieur, int´egration.
2. Pour les applications : s´eries enti`eres.

1

Formule de Taylor avec reste int´ egral 1.1

Th´ eor` eme

Th´ eor` eme 1.1 Soit f : [a, b] → IR une fonction de classe C n+1 . On a: n f (b) = f (a) +

f (k) (a)
1
(b − a)k + k! n! k=1 b a (b − t)n f (n+1) (t) dt.

Preuve Elle se fait par r´ecurrence sur n en int´egrant par parties le reste int´egral Rn (f ) =
1 b
(b − t)n f (n+1) (t) dt. n! a
D´
efinition 1.1 On appelle partie r´eguli`ere d’ordre n du d´eveloppement de Taylor de f n f (k) (a) en a le polynˆome Pn (x) d´efini par Pn (x) = f (a) +
(x − a)k . k! k=1
Remarque Apr`es le changement de variable t = a+(b−a)s, le reste int´egral peut s’´ecrire sous la forme
Rn (f ) =

1.2

(b − a)n+1 n! 1
0

(1 − s)n f (n+1) (a + s(b − a)) ds.

Applications

• D´ eveloppement en s´ erie enti` ere On va traiter l’exemple classique suivant. On d´efinit la fonction exponentielle exp comme l’unique fonction d´erivable sur IR, solution de l’´equation diff´erentielle : y ′(x) = y(x) pour tout x ∈ IR,

y(0) = 1.

Il vient imm´ediatement (par r´ecurrence) que exp est de classe C ∞ sur IR et que, pour tout n ∈ IN, exp(n) (0) = 1. On d´emontre sans probl`eme que exp ne s’annule pas (on rappelle pour cela qu’il suffit d’´etudier la fonction x → exp(x) exp(−x)) et donc reste positive et est croissante. La formule de Taylor avec reste int´egral `a l’ordre n s’´ecrit alors : n exp(x) = 1 +

xk xn+1
+
n! k=1 k!

1
0

(1 − t)n exp(tx) dt

(∗)

On peut alors majorer grossi`erement le reste de la mani`ere suivante : n exp(x) − 1 +

xk k! k=1

=

xn+1 n! 1
0

(1 − t)n exp(tx) dt

n+1

≤

|x| n! exp(|x|)

1
0

(1 − t)n dt =

|x|n+1 exp(|x|) (n + 1)!

Le dernier terme de droite tend vers 0 quand n