Irrationalité de Pi
Historique C'est en 1761 que Lambert démontra le premier l'irrationalité de : Sa démonstration, très différente de celle présentée ici, reposait sur la décomposition en fractions continues de tan x. Il faudra attendre 1882 pour que Lindemann démontre la transcendance de ; prouvant du même coup l'impossibilité de la quadrature du cercle. Notations
1 Pour tout entier n strictement positif, on considère la fonction pn dé nie par pn (x) = n! Z + =2 et on s'intéresse à l'intégrale In = pn (x) cos x dx:
=2 2

n

4

x2

Lemme

Pour tout nombre réel K > 0;

Kn = 0: n!+1 n! lim

En effet, si on pose un = La suite (un )n
K

Kn K pour tout entier n 0; alors (8n K) 0 < un+1 = u n < un . n! n+1 est décroissante et minorée par 0. Elle converge donc vers une limite réelle l véri ant K l = lim un = lim un+1 = lim un = 0: n!+1 n!+1 n!+1 n + 1

Encadrement de In h i 8x 2 ;+ 2 2

2

2

0

4

x2 In

4 1 n! 2 9
1 2

et
Z
+ =2 =2

8x 2
2

n

h

6

;+

6

On en déduit que : (8n et que : (8n
1) In

1) 0 1 n! Z

4

2 cos x dx = n! 2 9
2 n

i

2

4 a2 4

x2 n 2 9

2

:

+ =6 =6

n

1 cos x dx = n!

> 0:

Donc, pour tout réel b > 0; (bn In )n Calcul de In

est une suite de réels strictement positifs qui converge vers 0.

car pn étant une fonction polynomiale paire, il en va de même des fonctions dérivées pn .

A l'aide d'intégrations par parties successives jusqu'à disparition du facteur polynomial, on obtient : h i+ =2 2n P (k) In = ( 1)k pn (x) cos x (k + 1) 2 =2 k=0 2n P (k) (k) = ( 1)k pn cos k + pn cos k 2 2 2 2 k=0 n P (2j) (2j) = pn cos (j ) + pn cos (j ) 2 2 j=0 n P (2j) =2 ( 1)j pn 2 j=0
(2j)

Ghislain.Dupont@univ-lemans.fr

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Département de Mathématiques

Calcul des dérivées successives de pn On considère les fonctions polynomiales dé nies par : fn (x) = Alors (8k
n) (8x 2 R) fn (x) =
(k) (k) (k)

1 n!

2

x
(k)

n

et gn (x) =
1 (n k)!

1