Irrationalité de pi
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Irrationalité de PiHistorique C'est en 1761 que Lambert démontra le premier l'irrationalité de : Sa démonstration, très différente de celle présentée ici, reposait sur la décomposition en fractions continues de tan x. Il faudra attendre 1882 pour que Lindemann démontre la transcendance de ; prouvant du même coup l'impossibilité de la quadrature du cercle. Notations
1 Pour tout entier n strictement positif, on considère la fonction pn dé nie par pn (x) = n! Z + =2 et on s'intéresse à l'intégrale In = pn (x) cos x dx:
=2 2
n
4
x2
Lemme
Pour tout nombre réel K > 0;
Kn = 0: n!+1 n! lim
En effet, si on pose un = La suite (un )n
K
Kn K pour tout entier n 0; alors (8n K) 0 < un+1 = u n < un . n! n+1 est décroissante et minorée par 0. Elle converge donc vers une limite réelle l véri ant K l = lim un = lim un+1 = lim un = 0: n!+1 n!+1 n!+1 n + 1
Encadrement de In h i 8x 2 ;+ 2 2
2
2
0
4
x2 In
4 1 n! 2 9
1 2
et
Z
+ =2 =2
8x 2
2
n
h
6
;+
6
On en déduit que : (8n et que : (8n
1) In
1) 0 1 n! Z
4
2 cos x dx = n! 2 9
2 n
i
2
4 a2 4
x2 n 2 9
2
:
+ =6 =6
n
1 cos x dx = n!
> 0:
Donc, pour tout réel b > 0; (bn In )n Calcul de In
est une suite de réels strictement positifs qui converge vers 0.
car pn étant une fonction polynomiale paire, il en va de même des fonctions dérivées pn .
A l'aide d'intégrations par parties successives jusqu'à disparition du facteur polynomial, on obtient : h i+ =2 2n P (k) In = ( 1)k pn (x) cos x (k + 1) 2 =2 k=0 2n P (k) (k) = ( 1)k pn cos k + pn cos k 2 2 2 2 k=0 n P (2j) (2j) = pn cos (j ) + pn cos (j ) 2 2 j=0 n P (2j) =2 ( 1)j pn 2 j=0
(2j)
Ghislain.Dupont@univ-lemans.fr
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Département de Mathématiques
Calcul des dérivées successives de pn On considère les fonctions polynomiales dé nies par : fn (x) = Alors (8k
n) (8x 2 R) fn (x) =
(k) (k) (k)
1 n!
2
x
(k)
n
et gn (x) =
1 (n k)!
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