S´minaire Lotharingien de Combinatoire, B08b, 1982, 6 pp. e [Formerly : Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 1984, 229/S-08 Actes 8e S´minaire Lotharingien, p. 11-16.] e

´ UNE AUTRE INTERPRETATION ´ DU NOMBRE DE DERANGEMENTS
PAR

´ ´ Jacques DESARMENIEN

1. Introduction. — L’´num´ration des d´rangements (ou permutae e e tions sans points fixes) est un exercice classique de combinatoire remontant au 18e si`cle (le probl`me des rencontres de Montmort [7]), expos´ en d´tail e e e e par exemple par Comtet [1]. Deux articles r´cents de Garsia et Remmel et e de Remmel [4, 9] ont renouvel´ l’int´rˆt pour ce probl`me ; le premier en e ee e fournissant un mod`le pour une q-extension du nombre de d´rangements, e e le second en montrant comment ce mod`le permet d’interpr´ter la formule e e de r´currence dn = ndn−1 + (−1)n pour laquelle le mod`le classique des e e permutations sans points fixes ne fournit pas de d´monstration bijective e imm´diate. e Nous fournissons un mod`le diff´rent de celui de Garsia et Reme e mel pour lequel la r´currence mentionn´e est imm´diate et qui pr´sente e e e e d’autres int´rˆts : il est constitu´ de permutations de forme (up-down ee e sequence) donn´e ; on sait grˆce ` Foata et Sch¨tzenberger [3] que les e a a u q-d´nombrements des inversions et de l’indice majeur inverse co¨ e ıncident dans ce cas, et, comme nous l’avons d´velopp´ dans [2], donnent naissance e e a ` des fonctions de Schur d’o` d´rivent ` leur tour de nombreuses propri´t´s u e a ee alg´briques et arithm´tiques. De plus, contrairement au mod`le de Garsia e e e et Remmel, il est susceptible d’ˆtre ´tendu aux permutations quelconques, e e prenant en charge le param`tre suppl´mentaire nombre de points fixes. e e Finalement, comme nous a fait remarquer Knuth, il existe une similitude entre notre mod`le et un probl`me de g´n´ration de variables e e e e al´atoires de distribution exponentielle ´tudi´ par von Neumann, dont e e e une g´n´ralisation est d´crite par Knuth [5]. Le lien entre