Géometrie das l'espace

Pages: 6 (1495 mots) Publié le: 21 janvier 2011
Chapitre 4 : - Géométrie dans l’espace –
I. Rappel 1. Introduction 2. La perspective cavalière II. III. IV. Vocabulaire Règles d’incidence Position relative de droites et de plans 1. Positions relatives de droites 2. Positions relatives de plans 3. Positions relatives de droites et de plans V. Parallélisme dans l’espace

VI.

Les solides de références et leur volume

Cours de 2nde -Chapitre 4 : Géométrie dans l’espace - Année 2010 – 2011

I Rappel 1) Introduction La dimension 1, la droite. Un mobile M de la droite ne peut se «déplacer » que dans une direction. En effet, si est un vecteur directeur de la droite, si O est un point, tout point M du plan peut s’exprimer à l’aide ce seul vecteur : = x× , où x est appelé abscisse de M dans le repère (O, ) La dimension 2, le plan. Unmobile M du plan ne peut se « déplacer » que dans deux directions. Par définition même d’un repère du plan (O, , ), tout vecteur s’exprime de manière unique à l’aide des deux vecteurs et . C’est pour cela qu’on parle de dimension 2. du plan

Attention, dans l’espace un plan est souvent représenté à l’aide d’un quadrilatère ou d’un triangle : UN PLAN EST INFINI.

La dimension 3, l’espace. Pourobtenir un espace de dimension 3, il suffit d’un plan et d’un point hors de ce plan, « au dessus ». Un mobile M du plan ne pourra alors se « déplacer » que dans trois directions, les deux du plan, et celle qui se dirige en hauteur. 2) La perspective cavalière, quelques règles  Des droites sécantes seront représentées par des droites sécantes sur le dessin (mais attention, des droites sécantes surle dessin ne sont pas forcément réellement sécantes), même remarque pour le parallélisme et l’alignement des points.  Les arêtes visibles seront représentées en trait continu, les arêtes cachées en pointillé  Tout ce qui est parallèle au plan frontal (celui en face de nous) est représentée grandeur réelle, par contre le reste sera représenté sans conservation des longueurs, mais avecconservation des rapports de longueur. Voici un cube représenté en perspective cavalière :

Par exemple, sur la figure ci-dessus, les droites (BF) et (DC) semblent sécantes mais en réalité elles ne le sont pas. Le dessin peut donc être trompeur.

Cours de 2nde - Chapitre 4 : Géométrie dans l’espace - Année 2010 – 2011

Remarquons qu’il existe d’autres types de représentation dans l’espace. Voici parexemple une représentation de cube en perspective avec point de fuite.

II Vocabulaire 3 points non alignés définissent un unique plan. C’est pour cela que les plans seront notés (ABC) (ou P). Définitions. ─ On dira que des points sont coplanaires s’il existe un plan P qui les contient tous. ─ Deux droites sont dites coplanaires, s’il existe un plan P qui contient les deux droites. Exemple. Dansle cube ci-dessus (celui en perspective cavalière),  Les points A, B, C et D sont coplanaires : ils appartiennent tous au plan (ABC) (par exemple).  Les points A, B, H et G sont coplanaires : ils appartiennent tous au plan (ABH) (par exemple).  Les points A, B, C et G eux, ne sont pas coplanaires : aucun plan ne peut contenir ces 4 points simultanément. Définitions. ─ On dit que les plans P etP’ sont parallèles s’ils sont confondus ou sans point commun. ─ La droite d est parallèle au plan P si d est incluse dans P ou si d et P n’ont aucun point commun. ─ Deux droites de l’espace sont parallèles si elles sont coplanaires au plan P et parallèles dans le plan P.

Remarque. Une première erreur qu’il faudra donc éviter est de penser que deux droites non parallèles s’interceptentforcément… Ceci est faux dans l’espace, comme l’illustre l’exemple ci-contre.

De manière générale, comme dans la définition de parallélisme, on tentera d’utiliser les résultats connus dans le plan en travaillant avec des points coplanaires ou des droites coplanaires, si on le peut. On pourra par exemple utiliser les théorèmes de Pythagore ou de Thalès, puisque comme nous allons le voir un peu plus...
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