VIII Angles
A Rappels sur les angles orientés de vecteurs

Soit , deux vecteurs non nuls du plan. L'angle orienté a pour mesure modulo

tout réel

tel que

et

Proposition : Soient
1) 2) 3) 4) Relation de Chasles : Pour tout ,

, 3 vecteurs non nuls. On a :

dém 1 : cf. cours Lycée.
B Théorème de l'angle au centre

Théorème : Soit un cercle de centre dém 2 : On a

et

2 points de

et

d'où avec la relation de Chasles : (1) (2)

isocèle en isocèle en (1) devient (2) devient En utilisant

d'où : d'où : (3) (4) , l'addition (3)+(4) donne : CQFD !

Enn, avec la relation de Chasles :
C Angles Orientés de Droites

Soit et deux droites de vecteurs directeurs respectifs On note une mesure de l'angle de vecteurs . Si et deux autres vecteurs directeurs de Alors l'angle a pour mesure et ,

et

.

La quantité est constante par rapport à et , vecteurs directeurs de On l'appelle angle orienté des droites et et on le note . Par dénition, Notation : Quand et , l'angle

et

. et

sont dénies chacune par deux points diérents, par exemple se note

Géométrie du plan
Attention : Noter la diérence ou selon qu'il s'agit d'un angle de droites ou de vecteurs. Pourquoi ? 2 droites dénissent en général deux angles, un aigu et un obtu Pour dénir un angle orienté de droite, on est obligé de raisonner modulo .
Cocyclicité

2

D

Dénition : Des points sont dits cocycliques lorsqu'il existe un cercle qui les contient tous.
Exemple : 3 points du plan sont toujours cocycliques (situés sur le cercle circonscrit au triangle Théorème : Soit 4 points distincts du plan. sont cocycliques ou alignés ssi dém 3 :

)

Si Si

sont alignés, alors le résultat est clair. sont cocycliques : soit le centre du cercle qui les contient. Par le Th. de l'angle au centre,

donc : et en divisant par 2 : c'est à dire par déf d'angle de droites, admis On munit le plan d'un repère orthonormal direct, ce qui permet de voir 4 points distincts du