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Pages: 7 (2209 mots) Publié le: 22 avril 2015
GROUPES ET ESPACES VECTORIELS


GROUPES

Un groupe (G,*) est un ensemble G auquel est associé une opération * (la loi de composition)
vérifiant les quatre propriétés suivantes :
1. pour tout x, y  G, x * y  G (* est une loi de composition interne)
2. pour tout x, y, z  G, (x * y)* z = x*(y * z) (la loi est associative)
3. il existe e  G tel que " x  G, x * e = x et e * x = x (e estl’élément neutre)
4. pour tout x  G il existe x'  G tel que x * x' = x' * x = e (x' est l’inverse de x et est noté )
Si de plus l’opération vérifie
pour tous x, y  G, x* y = y * x,
on dit que G est un groupe commutatif (ou abélien).

Remarque
L’élément neutre e est unique. En effet si e' vérifie aussi le point (3), alors on a e' * e = e (car e est élément neutre) et e' * e = e' (car e' aussi). Donce = e'. Remarquez aussi que l’inverse de l’élément neutre est lui-même. S’il y a plusieurs groupes, on pourra noter pour l’élément neutre du groupe G.
Un élément x  G ne possède qu’un seul inverse. En effet si x' et x'' vérifient tous les deux le point (4) alors on a x* x'' = e donc x' * (x * x'') = x' * e. Par l’associativité (2) et la propriété de l’élément neutre (3) alors (x' * x) * x'' =x'. Mais x' * x = e donc e * x'' = x' et ainsi x'' = x'.

SOUS-GROUPE

Une partie H  G est un sous-groupe de G si :
e  H,
– pour tout x, y  H, on a x * y  H,
pour tout x  H, on a  H.

Remarque
Un critère pratique et plus rapide pour prouver que H est un sous-groupe de G est :
H contient au moins un élément
pour tout x, y  H, x * H.

Proposition
Les sous-groupes de (Z,+)sont les nZ, pour n  Z.

MORPHISMES DE GROUPES

Soient (G,*) et (G',¤) deux groupes. Une application f : G → G' est un morphisme de groupes si :
pour tout x, x'  G f (x*x') = f (x) ¤ f (x')

Proposition 1

Soit f :G → G' un morphisme de groupes alors :
- ,
- pour tout x  G,
Proposition 2

Soient deux morphismes de groupes f :G → G' et g :G' → G''. Alors g o f :G → G'' est un morphisme degroupes.
Si f : G → G' est un morphisme bijectif alors : G' → G est aussi un morphisme de groupes.
Un morphisme bijectif est un isomorphisme.

NOYAU ET IMAGE

Soit f :G → G' un morphisme de groupes.

Le noyau de f est
Ker f = { x  G | f (x) = }

L’image de f est
Im f = { f (x) | x  G }

Proposition

Soit f :G → G' un morphisme de groupes.
1. Ker f est un sous-groupe de G.
2. Im f est unsous-groupe de G'.
3. f est injectif si et seulement si Ker f = {}.
4. f est surjectif si et seulement si Im f = G'.

LE GROUPE Z/nZ

Rappelons que Z/nZ est l’ensemble
Z/nZ = {} où désigne la classe d’équivalence de p modulo n.

Autrement dit

ou encore 

On définit une addition sur Z/nZ par :


Proposition

(Z/nZ,+) est un groupe commutatif.

Définition

Un groupe (G,*) est ungroupe cyclique s’il existe un élément a  G tel que :
pour tout x  G, il existe k  Z tel que

Autrement dit le groupe G est engendré par un seul élément a.

Remarque : un groupe (Z/nZ,+) est engendré par les entiers k < |n| tels que pgcd (k,n)=1 , c'est à dire n et k premiers entre eux.

ESPACE VECTORIEL

Dans ce chapitre, K désigne un corps. Dans la plupart des exemples, ce sera le corps
desréels R.

Définition

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni :
– d’une loi de composition interne, c’est-à-dire d’une application de E x E dans E :
E x E → E
(u,v) → u+v
– d’une loi de composition externe, c’est-à-dire d’une application de K x E dans E :
K x E → E
(l,u) → l . u
qui vérifient les 8 axiomes suivants :
1. u + v = v + u (pour tous u,v  E)
2. u + (v + w) = (u+ v) + w (pour tous u,v,w  E)
3. Il existe un élément neutre  E tel que (pour tout u  E)
4. Tout u  E admet un symétrique u' tel que u + u' =. Cet élément u' est noté -u.
5. 1 . u = u (pour tout u  E)
6. l . ( m . u) = ( lm ) . u (pour tous l,m  K , u  E)
7. l . (u + v) = l . u + l . v (pour tous l  K , u,v  E)
8. ( l + m ) . u = l . u + m . u (pour tous...
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