GROUPES ET ESPACES VECTORIELS

GROUPES

Un groupe (G,*) est un ensemble G auquel est associé une opération * (la loi de composition) vérifiant les quatre propriétés suivantes : 1. pour tout x, y  G, x * y  G (* est une loi de composition interne)
2. pour tout x, y, z  G, (x * y)* z = x*(y * z) (la loi est associative)
3. il existe e  G tel que " x  G, x * e = x et e * x = x (e est l’élément neutre)
4. pour tout x  G il existe x'  G tel que x * x' = x' * x = e (x' est l’inverse de x et est noté )
Si de plus l’opération vérifie pour tous x, y  G, x* y = y * x, on dit que G est un groupe commutatif (ou abélien).

Remarque
L’élément neutre e est unique. En effet si e' vérifie aussi le point (3), alors on a e' * e = e (car e est élément neutre) et e' * e = e' (car e' aussi). Donc e = e'. Remarquez aussi que l’inverse de l’élément neutre est lui-même. S’il y a plusieurs groupes, on pourra noter pour l’élément neutre du groupe G.
Un élément x  G ne possède qu’un seul inverse. En effet si x' et x'' vérifient tous les deux le point (4) alors on a x* x'' = e donc x' * (x * x'') = x' * e. Par l’associativité (2) et la propriété de l’élément neutre (3) alors (x' * x) * x'' = x'. Mais x' * x = e donc e * x'' = x' et ainsi x'' = x'.

SOUS-GROUPE

Une partie H  G est un sous-groupe de G si : e  H, – pour tout x, y  H, on a x * y  H, pour tout x  H, on a  H.

Remarque
Un critère pratique et plus rapide pour prouver que H est un sous-groupe de G est :
H contient au moins un élément pour tout x, y  H, x * H.

Proposition
Les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ, pour n  Z.

MORPHISMES DE GROUPES

Soient (G,*) et (G',¤) deux groupes. Une application f : G → G' est un morphisme de groupes si : pour tout x, x'  G f (x*x') = f (x) ¤ f (x')

Proposition 1

Soit f :G → G' un morphisme de groupes alors :
- ,
- pour tout x  G,
Proposition 2

Soient deux morphismes de groupes f :G → G' et g :G' → G''. Alors g o f :G → G'' est un morphisme de