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Pages: 50 (12271 mots) Publié le: 26 mai 2013
Notes de cours - Préparation à l’agrégation

Introduction à l’optimisation
Première Partie : aspects théoriques
Univ. Rennes 1, E.N.S. Rennes

Yannick Privat ∗

∗ ENS Cachan Bretagne, CNRS, Univ. Rennes 1, IRMAR, av. Robert Schuman, F-35170 Bruz, France; yannick.privat@bretagne.ens-cachan.fr

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TABLE DES MATIÈRES

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Table des matières
1 Introduction 1.1 Le programme del’agrégation . . . . . 1.2 Le vocabulaire de l’optimisation . . . . 1.3 Quelques rappels de calcul différentiel 1.4 Détour vers la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 4 6 8 8 11 14 19 20 22 23 25 25 31

2Questions d’existence et unicité des solutions 2.1 Existence en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Unicité de l’optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Existence en dimension infinie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Conditions d’optimalité - optimisation sans contrainte 3.1 Conditionsd’optimalité - optimisation sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Minimisation d’une fonctionnelle quadratique sans contrainte . . . . . . . . . . . 3.3 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Conditions d’optimalité - optimisation sous contraintes 4.1 Multiplicateurs de Lagrange, le théorème des extrema liés . . . . . . . . . . . . . . 4.2Les théorèmes de F. John et Karush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 INTRODUCTION

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1 Introduction
1.1 Le programme de l’agrégation
• Optimisation et approximation • Interpolation de Lagrange. ˝ • Extremums des fonctions rOelles de n variables réelles : multiplicateurs de Lagrange. • Mise en œuvre de l’algorithme de gradient à pas constant. • Méthode des moindrescarrés et applications. L’interpolation de Lagrange et les algorithmes de gradients seront étudiés ultérieurement, au cours de la préparation.

1.2 Le vocabulaire de l’optimisation
Soit V est un espace vectoriel normé, muni de la norme · . Dans ce cours, on s’intéresse au problème suivant inf f (x) (1) x ∈K, où K • • •

⊂ V et f : K −→ R est une fonction, appelée fonction coût ou critère. Si K = V, on dit que (1) est un problème d’optimisation sans contrainte. Si K V , on dit que (1) est un problème d’optimisation sous contrainte. Si dimK < +∞ (resp. dimK = +∞), on dit que (1) est un problème d’optimisation en dimension finie (resp. infinie). Remarquons que ce formalisme englobe tous les problèmes d’optimisation, y compris les problèmes de maximisation puisque maximiser une quantité revientà minimiser son opposé. Dans le cadre de ce cours, on étudiera essentiellement l’optimisation en dimension finie, conformément au programme de l’agrégation. Nous adopterons la convention suivante : si l’on veut indiquer que la valeur du minimum est atteinte, on écrira min f (x) x ∈K, tandis que l’on utilisera la notation “inf” quand on ne sait pas a priori si la valeur de la borne inférieure est,ou non atteinte. Enfin, rappelons que toute partie minorée non vide de R admet une borne inférieure, caractérisée de la façon suivante :

Proposition 1.1. Suites minimisantes
Soit X , une partie minorée non vide de R. Alors, les assertions suivantes sont équivalentes : ii ∀ε > 0, ∃x ∈ X | m i m = inf{x, x ∈ X } ;
x < m +ε ;

iii m est un minorant de X et il existe (x n )n∈N ∈ X N , appelée“suite minimisante” convergeant vers m .

1 INTRODUCTION

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En conséquence, voici les questions qu’il sera naturel de se poser lorsque vous rencontrerez un problème d’optimisation : • Ce problème possède t-il une solution ? • 1er cas de figure. Si ce problème possède une solution, on cherchera à la caractériser (par exemple, est-elle unique ?) ou mieux, à la déterminer lorsque ce sera...
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