EPREUVE COMMUNE de MATHEMATIQUES CORRIGE
PARTIE I 1°) a) Comme a(e1)=e2 et a2(e1)= e3 la famille (e1, a(e1), a2(e1)) est une base de E et a est cyclique. • Le polynôme caractéristique de A est : -(x-1)(x-2)(x-3).

•

⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ Ker (A-I3)=Vect ⎜ − 5 ⎟ , Ker (A-2I3)= Vect ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 4 ⎟ , Ker (A-3I3)=Vect ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 4 ⎟ et ⎜ − 3 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

•

⎛ 6 ⎞ ⎜ ⎟ La matrice de passage de la base (e1, e2, e3) à la base des trois vecteurs propres ⎜ − 5 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ est :

3 2⎤ ⎡6 ⎡1 0 0⎤ ⎢− 5 − 4 − 3⎥ et Ρ −1 AΡ = ⎢0 2 0⎥ Ρ=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎢0 0 3 ⎥ 1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
b) • La famille (e1, b(e1)=e2, b2(e1)=e3) est une base de E et b est cyclique. • Le polynôme caractéristiques de B est : -(x-1)(x+1)2 •

⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ Ker (B+I3)=Vect ⎜ 0 ⎟ , sa dimension vaut 1 alors que l’ordre de multiplicité de la valeur propre –1 est 2. ⎜1⎟ ⎝ ⎠
La matrice B n’est pas diagonalisable. b n’est pas diagonalisable. k λ1 x1 + K + λk x n n n−1

•

2°) k a) c ( x1 + x 2 K + x n ) = tous nuls vérifiant :

pour 1 ≤ k

≤ n −1 .

Si les n vecteurs ( x0 , c ( x0 ), K , c

( x0 )) forment une famille liée, il existe n scalaires α 0 , α1 , K , α n −1 non

n α 0 ( x1 + K + xn ) + α1 (λ1 x1 + K + λn xn ) + K + α n −1 (λ1 −1 x1 + K + λn −1 xn ) = 0 n n −1 n −1 ou encore : (α 0 + α 1λ1 + K + α n −1λ1 ) x1 + K + (α 0 + α 1λn + K + α n −1λn ) xn = 0 . La famille x1 , K , xn est libre, on obtient donc : P(λ1 ) = P(λ2 ) K = P(λn ) = 0 avec P ( x ) = α 0 + α1 x + K + α n −1 x n −1 . P est un polynôme de degré inférieur ou égal à n − 1 ayant n racines distinctes, ce qui est impossible. n−1 b) La famille ( x0 , c ( x0 ), K , c cyclique.

( x0 ) ) est libre, c’est une base de E puisque son cardinal est n et c est

PARTIE II 3°) a) Toute famille libre contient au plus

n vecteurs. m −1 Donc l’ensemble {m / ( ( x 0 , f ( x 0 ), K , f ( x 0 ) ) est libre} est majoré par n et non vide. Il admet un plus grand élément m