1) L'énoncé est un peu ambigu mais je suppose que la bille est posée sur le fond du récipient et qu'elle affleure la surface de l'eau.
On a alors :
Volume du cylindre = (piR².H) avec R=8cm et h=10 cm (diamètre de la bille)
Volume de la bille = 4/3 pi(h/2)³ pour reprendre les notations ci-dessus

V0= piR².h -1/6pih³ .(volume total du cylindre - volume de la bille)=1487 cm³

2)même principe. On recouvre exactement une bille de rayon x avec une hauteur 2x d'eau
V(x)=piR².2x - 4/3.pi.x³

V(x)-V0= piR².2x - 4/3.pi.x³ -piR²h+1/6pih³
=4/3pi(3/2R²x -x³-3/4R²h+3/24h³) avec R=8 et h=10
=4/3pi(96x - x³ - 355)

Tu sais que V(5)=V0 donc f(5)=0. Comme f est un polynome, tu peux mettre (x-5) en facteur
(x-5)(ax²+bx+c)=ax³ +(b-5a)x² + (c-5b)x -5c
Il faut que ça soit égal à 96x - x³ - 355, donc égaliser les coeeficients un à un . a=-1 b=-5 c=71 --> f(x) = 4/3 pi (x-5)(-x² -5x + 71)

f(x)=0 si l'un des deux facteurs est nul soit x=5 (ça on le savait déjà) ou -x² -5x + 71=0 delta = 25 + 4.71 = 309

Il y a deux solutions, dont une seule est positive (rappel, x est un rayon de bille, donc est forcément positif...) x0 = (5 - racine(309))/-2 = 6,29 cm (6,3 arrondi au dixième)

Le tableau de signe devrait te donner f(x) positif entre 5 et x0 et négatif sinon.

Il y a V0 dans le bocal. On met une bille de rayon x dedans. I faut V(x) au moins pour la recouvrir.
Conclusion : si V(x)
1 - 4/xo + 5/xo² - 4/xo³ + 1/xo^4 = 0

et ceci est l'équation (E) dans laquelle on a donné à x la valeur 1/xo --> 1/xo est solution de (E)
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3)

Comme x = 0 n'est pas solution de (E), on peut diviser les 3 membres de (E) par x², on obtient alors une équation équivalente qui est:

x² - 4x + 5 - 4/x + 1/x² = 0
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posons X = x + (1/x)

X² = x² + (1/x)² + 2

x² - 4x + 5 - 4/x + 1/x² = 0 x² + 1/x² - 4(x + 1/x) + 5 = 0 x² + 1/x² + 2 - 2 - 4(x + 1/x) + 5 = 0 x² + 1/x² + 2 - 4(x + 1/x) + 3 = 0

X² - 4X + 3 = 0

--> X = 1 et X = 3 sont solutions.

a)
X = 1