Laplace

Pages: 8 (1773 mots) Publié le: 29 août 2013
CHAPITRE I : TRANSFORMÉES DE LAPLACE
A. FONCTIONS CAUSALES

Définition : Une fonction f , définie sur IR est causale si : Pour tout t < 0 , f(t) = 0. 1. Echelon unité Définition : L’échelon unité U est la fonction définie sur IR par : U(t) = 0 si t < 0 U(t) = 1 si t ≥ 0

Remarque : U est constante par morceaux. Elle est discontinue en 0. 2. Utilisation de l’échelon unité Définition : Pourtransformer une fonction g définie sur IR en une fonction causale f prenant les mêmes valeurs sur [0 ; +∞[ , on la multiplie par l’échelon unité : f(t) = U(t)g(t) pour tout t ∈ IR Exemples

1

3. Translation d’une fonction causale a. Echelon unité Considérons la fonction translatée de l’échelon unité ayant le saut à l’instant t = τ. On a : h(t) = 0 si t < τ h(t) = 1 si t ≥ τ On peut alorsécrire : h(t) = U(t – τ) pour tout t ∈ IR. En effet : U(t – τ) = 0 si t – τ < 0 soit t < τ U(t – τ) = 1 si t – τ ≥ 0 soit t ≥ τ Proposition : La translatée de vecteur τ i de l’échelon unité est la fonction définie sur IR par : U(t – τ). b. Cas usuels Proposition : La translatée de vecteur τ i de toute fonction causale de la forme f(t)U(t) est définie sur IR par : f(t – τ)U(t – τ). Remarque : La fonctiondéfinie sur IR par : f(t) U(t – τ) n’est pas la translatée de la fonction f(t)U(t), c’est une fonction qui prend les mêmes valeurs que f sur l’intervalle [τ ; +∞[. Exemple : Fonction causale : t U(t) Translatée : (t – 2)U(t – 2) Fausse translatée : t U(t – 2)
→ →

Exercice : Dans chaque cas tracer les translatées demandées des fonctions causales données. Fonction causale Translatée de τ =1 Translatée de τ = 3

2

B. INTEGRALES IMPROPRES
1. Généralités Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; +∞[ et continue par morceaux. Soit A un nombre réel. Si : lim
x +∞

x→+∞

∫ f (t )dt = A alors l’intégrale impropre ∫ f (t )dt est convergente et égale au nombre A.
a a
+∞

Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale impropre est divergente. Exemples :Etudier la convergence
+∞



1 dt et de t 1

+∞

∫t
1

1
2

dt :

∫ t dt
1

1

=

+∞

∫t
1

1
2

dt =

Remarques : 1. On peut définir de même :

−∞

∫ f ( t )dt .
− t2 2

a

2. Les propriétés de l’intégrale restent valables. 3. La densité de probabilité de la loi normale centrée réduite N(0,1) est une fonction dont
+∞

l’intégrale sur IR converge etvaut 1. On a :

−∞



1 2π

e

dt = 1

2. Convergence d’intégrales dépendant d’un paramètre Théorème (admis) : Soit n un nombre entier naturel et soit λ un nombre complexe.
+∞

Si λ ∈ IR, Si λ ∈ Ê,

∫t

n λt

e dt converge si et seulement si λ < 0.

0 +∞

∫t
0

n λt

e dt converge si et seulement si Re(λ) < 0.

Exercice : Etudier la convergence des intégralessuivantes avec λ ∈ IR :
+∞

1.

∫e
0

λt

dt

+∞

2.

∫ te
0

λt

dt

3

C. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
1. DÉFINITION Définition : La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction F de la variable réelle ou complexe p définie par : F(p) = ℒ
+∞

=

∫ f (t )e
0

− pt

dt
+∞

Remarques : 1. La transformée de Laplace F n’existe que si l’intégrale impropre∫ f (t )e
0

− pt

dt converge.

f(t) =

2. Les fonctions causales utilisées en électricité (et donc dans ce cours) sont de la forme : avec n ∈ É et r ∈ Ê, elles admettent une transformée de Laplace pour Re(r) > 0. 3. Dans la pratique pourtant on ne précisera pas les valeurs de p pour lesquelles F(p) existe.

2. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DES FONCTIONS USUELLES 1) Propriété : 1 Latransformée de Laplace de la fonction échelon unité est définie pour p > 0 et on a F(p) = (LU)(p) = . p 1 On écrit généralement par abus de langage : l[U(t)] = . p
+∞

Transformée de Laplace de l’échelon Unité : f(t) = U(t)

Démonstration : Voir le paragraphe B2 : Il faut calculer

∫e
0

− pt

dt =

2) Propriété :

Transformée de Laplace de la fonction rampe : f(t) = t U(t)

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