Laplace

Pages: 10 (2479 mots) Publié le: 22 avril 2013
Chapitre 2

Fonction de transfert des systèmes asservis

Aymeric Histace

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0. Introduction


Objectifs


Au sens de l’automaticien exploiter un système, c’est être l automaticien, système capable de dimensionner la commande (son entrée donc) pour obtenir une sortie désirée. Exemple : je veux que la température de la pièce atteigne une consigne donnée de manière précise et en untemps minimal fixé fixé.



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0. Introduction


Objectifs


Pour ce faire il va être nécessaire de () (i) caractériser la relation entrée/sortie du système y (ii) la rendre utilisable dans le cadre de l’élaboration d’une commande (iii) êt capable d’ét di d systèmes complexes. être bl d’étudier des tè l Ce sont ces 3 points que nous allons maintenant abordésabordés.

 





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Plan


1. Relation entrée/sortie des systèmes linéaires 2. 2 La transformée de Laplace 3. Fonction de transfert d’un système linéaire 4. Simplification des schémas fonctionnels
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1. Relation entrée/sortie des SL /


Système linéaire


Les systèmes étudiés dans le cadre de ce cours sont uniquement dessystèmes linéaires. Un système est linéaire s’il possède une des 2 propriétés suivantes :




si s1(t) est la sortie obtenue en appliquant e1(t) et s2(t) est la sortie obtenue en appliquant l’entrée e2(t), alors pour tout réel α et pour tout réel β, en appliquant l’entrée e(t)= α.e1(t)+ β.e2(t), le système génère la sortie s(t)= α.s1(t)+ β.s2(t). Un système est dit linéaire si l’équationliant la sortie à l'entrée est une équation différentielle linéaire à coefficients constants.



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1. Relation entrée/sortie des SL /


Equation différentielle générale d’un SL


Considérons un SL quelconque à une entrée et une sortie décrit par le schéma fonctionnel habituel :



La forme générale d l’é L f é é l de l’équation diffé ti ll reliant l’ t é à l tidifférentielle li t l’entrée la sortie de ce SL est donnée par :

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1. Relation entrée/sortie des SL /


Equation différentielle générale d’un SL


Quelques remarques :



Les coefficients ai et bi , i ϵ [0,m/n] sont des réels quelconques. En pratique, on ne rencontrera que des systèmes tels que m ≤ n, on parlera de systèmes causaux.



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1. Relation entrée/sortie des SL /


Exemples simples :


1. 1 Etude d’un circuit RC d un
i(t)

Equations électriques : E ti él t i



Relation entrée/sortie

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1. Relation entrée/sortie des SL /


Exemples simples :


2. 2 Etude d’une suspension mécanique d une
La masse m est reliée au bâti par un ressort de raideur k et un amortisseurvisqueux (frottements) de coefficient b



Principe fondamental de la dynamique (projection horizontale)

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1. Relation entrée/sortie des SL /


Résolution des équations différentielles


Résoudre ces équations différentielles permet donc de voir comment se comporte la sortie du système pour une entrée donnée (un dirac, un échelon, une rampe, une sinusoïde…).Théoriquement parlant, la solution générale d’une telle équation différentielle est la solution générale de l’équation sans second l équation membre s0 plus une solution particulière s1 de l’équation complète. Néanmoins, c’est la démarche inverse que cherche à réaliser le concepteur de systèmes : aussi, il veut connaître l’entrée à pp q p p appliquer pour obtenir une sortie particulière.
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1. Relation entrée/sortie des SL /


Résolution des équations différentielles


L inversion L’inversion de ces équations est alors plus délicate délicate… La méthode de la transformation de Laplace va p p permettre de transformer les équations différentielles en équations algébriques qu’il sera plus aisé d’inverser. Sera alors introduite la notion de fonction de...
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