laplacien
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Le laplacien d’une fonction f mesure la diff´rence entre la valeur de la fonction en e un point et sa moyenne autour de ce point. On le note ∆(f ).
Il est nul, ou assez petit, lorsque la fonction varie sans `-coup. a C’est le cas pour la fonction donnant la luminosit´ des points d’une image conse titu´e d’un d´grad´ de gris r´gulier. Ou pour la temp´rature des points d’une e e e e e plaque m´tallique chauff´e en certains points et refroidie en d’autres points, lorsque e e l’´quilibre est atteint. Ou encore pour le potentiel de gravitation dˆ au soleil, en e u chaque point du syst`e solaire. e Ces fonctions v´rifiant l’´quation de Laplace ∆(f ) = 0 sont dites harmoniques. e e
Du point de vue math´matique, le laplacien est d´fini en terme des d´riv´es partielles e e e e
2
∂ f ∂2f de f. Si f est une fonction de 2 variables x, y, alors ∆(f ) =
+
et en g´n´ral e e
∂x2 ∂y 2 n ∂2f pour une fonction de n variables xi , il vaut ∆(f ) =
.
∂x2 i i=1
La premi`re occurence de l’´quation de Laplace apparaˆ dans un m´moire sur e e ıt e l’attraction des sph´ro¨ e ıdes en 1782, sous une forme compliqu´e due au syst`me de e e coordonn´es polaires qu’il utilisait. e Mais il reconnaˆ son importance : ”Nous verrons toute la th´orie des attractions des ıt e sph´ro¨ e ıdes tr`s peu diff´rents de la sph`re d´couler de cette ´quation fondamentale. e e e e e Des exemples de fonctions harmoniques sont donn´s par les parties r´elles de fonce e tions holomorphes d’une variable complexe. On peut aussi en construire par la x transformation de Kelvin qui a une fonction f associe g : x −→ ||x||2−n f ||x||2 . Si
`
x f est harmonique, alors g ´galement, et en g´n´ral ∆g(x) = ||x||−2−n ∆f ||x||2 . e e e
On peut r´soudre l’´quation de Laplace avec conditions aux limites (par exemple e e trouver la temp´rature en chaque point d’une plaque m´tallique dont on impose e e la tempr´ature en certains