Le chaos en mathématiques

Pages: 8 (1871 mots) Publié le: 25 mai 2013
Intro :Depuis les découvertes de newton , les systems dynamiques (dans lesquels il y a des notions de déplacements ou de mouvements) étaient dirigés par des lois simples et déterministes, mais les travux de henry poincaré ébranlèrent cette théorie qui faisait de l'univers un système géant muni de lois simples qu'il suffisait de trouver. Beaucoup plus tard la réflexion scientifique engendrée parces travaux donnera naissance à la théorie de chaos. La théorie du chaos s'applique aux systèmes dynamiques. Parmi ces systèmes, on retrouve bien sûr une bonne partie des systèmes dynamiques courants (calcul de trajectoires : d'un élément mobile, d'une planète, etc...) ; mais on y retrouve aussi l'évolution des populations, des automates cellulaires, la météorologie et bien d'autres. En termegénéral, on dit d'un système qu'il est chaotique s'il est régi par des lois déterministes connues mais que son évolution échappe tout de même à toute prévision sur le long terme. L'origine de ce phénomène est la dépendance de ces systèmes aux conditions initiales. C'est d'ailleurs grâce aux recherches de quelques hommes sur les prévisions météorologiques, que la théorie du chaos émergea aux yeux desscientifiques dans les années soixante. Nous verrons tout d'abord plus en détail comment ce mystérieux phénomène est apparu aux scientifiques, puis nous étudierons plusieurs exemples pour clarifier certains points de cette théorie comme la dépendance aux conditions initiales ou l'apparition des attracteurs étranges avec des exemples de difficulté croissante. Et enfin, nous illustrerons ces points àl'aide de programmes informatiques qui permettrons de bien assimiler les différentes facettes de cette théorie
historique : Edward Lorenz, professeur de mathématique au MIT (Massachusetts Institut of Technologie) est le père officiel de la théorie du chaos. Il observa le phénomène en 1961 et l'ironie du sort a voulu qu'il découvre ce qui s'appellera plus tard la théorie du chaos par hasard, à lasuite de calculs visant à prévoir les phénomènes météorologiques.
Ces prévisions nécessitaient un nombre très important de calculs. En effet les phénomènes météorologiques obéissent aux lois de Newton, aux trajectoires des corps, etc... et donc au calcul d'équations différentielles très complexes du fait du nombre astronomique de variables entrant en jeu. Pour résoudre ces équations, Lorenz les atout d'abord simplifiées au maximum, jusqu'à obtenir un système de trois équations avec trois inconnues, mais les calculs restaient impossibles à faire à la main. Il utilisa donc un ordinateur, un Royal McBee LGP-300 ; il ne faut pas oublier que nous sommes en 1961 et que les ordinateurs de l'époque étaient extrêmement volumineux, bruyants, lents, chauffaient énormément et qui plus est, étaientbeaucoup moins fiables qu'aujourd'hui. Un beau jour, après plusieurs heures de calcul l'ordinateur retourna sous forme de colonnes de chiffres les résultats des équations, Lorenz décida alors de repasser une deuxième fois ces données dans l'ordinateur pour s'assurer des résultats. Mais au lieu d'entrer les variables à six chiffres après la virgule il décida de n'en garder que trois pour gagner dutemps. Il pensait, comme beaucoup de mathématiciens à l'époque, qu'une faible variation dans les variables à la base d'un calcul aussi complexe aurait une incidence du même ordre de grandeur sur le résultat final. Et peut-être la chaleur dégagée par l'ordinateur y était-elle aussi pour quelques choses dans cette décision. Seulement voilà, lorsqu'il compara les deux séries de résultats, il cru toutd'abord à une erreur ou un disfonctionnement dans l'ordinateur, mais celui-ci fonctionnait parfaitement, et pourtant les résultats étaient totalement différents.
Il venait de découvrir le comportement chaotique d'un système non linéaire, soit que d'infimes différences dans les conditions initiales d'un système déterministe entraînaient des résultats complètement différents. On appellera plus...
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