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LEÇON

Différents types de raisonnement en mathématiques Niveau : Lycée
Prérequis : vocabulaire de la logique : assertion, implication, équivalence, quantificateurs, négation

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Introduction
La place de la logique et du raisonnement est très importante dans les programmes du secondaire.
En effet, l’étude des formes diverses de raisonement et la nécessité de distinguer implication et causalité sont essentielles à la formation mathématique.
Ainsi, les mathématiques vont permettent de distinguer le vrai du faux grâce à la mise en place d’une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour tous : il s’agit du raisonnement. Le raisonnement est le moyen de valider ou d’infirmer une hypothèse et de l’expliquer à autrui. Reste à savoir quel type de raisonnement il faut mener pour arriver au résultat attendu. 2

Raisonnement direct

Raisonnement direct
Définition 68.1

On veut montrer que l’assertion « P ⇒ Q est vraie. On suppose que P est vraie et on veut monntrer qu’alors Q est vraie. C’est la méthode la plus fréquemment utilisée.
Remarque 68.2. Dans le cas où P est fausse alors l’assertion « P ⇒ Q est vraie, quelque soit la valeur de vérité de Q.
Exemples 68.3.
1. Montrer que, pour tout n ∈ Z, 16n2 − 48n + 33 ∈ N.

2. Montrer que, pour tout x ∈ Q+ , il existe n ∈ N tel que n > x.
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Développement
Résolutions.
1. Soit n ∈ Z. Puisqu’un produit, une somme et une différence d’entiers naturels relatifs sont des entiers relatifs, on en déduit que 16n2 − 48n + 33 est un entier relatif.
D’autre part, on a l’égalité :
16n2 − 48n + 33 = 4(2n − 3)2 − 3.
Puisque, n ∈ Z, 2n − 3 ∈ Z∗ et donc |2n − 3| ≤ 1. D’où (2n − 3)2 ≤ 1. Il s’en suit que l’on a
4(2n − 3ř2 − 3 ≤ 4 − 3 = 1.
Donc : 16n2 − 48n + 33 ∈ N. On a ainsi démontré que pour tout entier relatif n, 16n2 − 48n + 33 ∈ N.

2. Soit x ∈ Q+ . Il existe deux entiers p, q (p ∈ Z, q ∈ N∗ ) tel que x = p . Comme q est un entier strictement positif,
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