le feu

Pages: 13 (3040 mots) Publié le: 21 juillet 2014
68
LEÇON

Différents types de
raisonnement en
mathématiques

Niveau : Lycée
Prérequis : vocabulaire de la logique : assertion, implication, équivalence, quantificateurs, négation

1

Introduction
La place de la logique et du raisonnement est très importante dans les programmes du secondaire.
En effet, l’étude des formes diverses de raisonement et la nécessité de distinguerimplication et causalité sont essentielles à la formation mathématique.
Ainsi, les mathématiques vont permettent de distinguer le vrai du faux grâce à la mise en place
d’une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette démarche doit être convaincante pour tous :
il s’agit du raisonnement. Le raisonnement est le moyen de valider ou d’infirmer une hypothèse et de
l’expliquer à autrui. Reste à savoirquel type de raisonnement il faut mener pour arriver au résultat
attendu.

2

Raisonnement direct

Raisonnement direct
Définition 68.1

On veut montrer que l’assertion « P ⇒ Q est vraie. On suppose que P est vraie et on veut
monntrer qu’alors Q est vraie. C’est la méthode la plus fréquemment utilisée.
Remarque 68.2. Dans le cas où P est fausse alors l’assertion « P ⇒ Q est vraie, quelquesoit la valeur
de vérité de Q.
Exemples 68.3.
1. Montrer que, pour tout n ∈ Z, 16n2 − 48n + 33 ∈ N.

2. Montrer que, pour tout x ∈ Q+ , il existe n ∈ N tel que n > x.

Développement
Résolutions.
1. Soit n ∈ Z. Puisqu’un produit, une somme et une différence d’entiers naturels relatifs sont des entiers relatifs, on en
déduit que 16n2 − 48n + 33 est un entier relatif.
D’autre part, on al’égalité :
16n2 − 48n + 33 = 4(2n − 3)2 − 3.
Puisque, n ∈ Z, 2n − 3 ∈ Z∗ et donc |2n − 3| ≤ 1. D’où (2n − 3)2 ≤ 1. Il s’en suit que l’on a
4(2n − 3ř2 − 3 ≤ 4 − 3 = 1.
Donc : 16n2 − 48n + 33 ∈ N. On a ainsi démontré que pour tout entier relatif n, 16n2 − 48n + 33 ∈ N.

2. Soit x ∈ Q+ . Il existe deux entiers p, q (p ∈ Z, q ∈ N∗ ) tel que x = p . Comme q est un entier strictement positif,
∗q
q ≥ 1, alors p = xq ≥ x. En particulier, p > 0. D’où 2p > P . Il vient 2p > x. Comme 2p ≥ 0, 2p ∈ N. Donc n = 2p
convient.


3

Raisonnement par disjonction des cas (ou cas par cas)

Raisonnement par disjonction des cas
Définition 68.4

314

Si l’on souhaite vérifier une assertion P (x) pour tous les x dans un ensemble E, on montre
l’assertion pour les x dans une partie A de Epuis pour tous les x n’appartenant pas à A. C’est la
méthode de disjonction ou du cas par cas.
LEÇON 68. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT EN MATHÉMATIQUES

Remarque 68.5. Finalement, on partitionne E en E = A ∪ E \ A.
Exemples 68.6.
1. Montrer que pour tout (a, b) ∈ N2 , ab(a2 − b2 ) est divisible par 3.
2. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2 :

1
max(x, y) = (x + y + |x − y|).
2Développement
Résolutions.
1.
1er cas a ou b est multiple de 3. Si 3 | a alors 3 | ab(a2 − b2 ) et si 3 | b alors 3 | ab(a2 − b2 ). Dans ce premier cas,
l’assertion eset vraie.
2e cas a et b ne sont pas multiples de 3. Tout entier naturel s’écrit sous la forme 3k, 3k + 1, 3k + 2 où k ∈ N. Comme
a et b ne sont pas multiples de 3, ils s’écrivent sous la forme 3k + 1 ou 3k − 1 (qui revient à la forme 3k+ 2).
On peut alors montrer, en distinguant les cas, que a2 − b2 est divisible par 3.
– Si a = 3k + 1 et b = 3k � + 1 avec k, k � ∈ N :
a2 − b2 = (3k + 1)2 − (3k � + 1)2 = 9(k 2 − k �2 ) + 6(k − k � ) = 3(3(k 2 − k �2 ) + 2(k − k � )).
Donc 3 | a2 − b2 et par suite, 3 | ab(a2 − b2 ).

– Si a = 3k + 1 et b = 3k � − 1 avec k, k � ∈ N . . .

– Si a = 3k − 1 et b = 3k � − 1 avec k, k � ∈ N . ..
2.

– Si a = 3k − 1 et b = 3k � + 1 avec k, k � ∈ N . . .
1er cas x ≤ y. Comme x ≤ y, x − y ≤ 0 et donc |x − y| = −(x − y). D’où :
1
1
(x + y + |x − y|) = (x + y − (x − y)) = y
2
2
qui est bien le max entre x et y dans ce cas.
2e cas x > y. Comme x > y, x − y > 0 et donc |x − y| = x − y. D’où :
1
1
(x + y + |x − y|) = (x + y + (x − y)) = x,
2
2
qui est bien le max entre x et...
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