Le mal

Pages: 24 (5864 mots) Publié le: 3 février 2011
Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés Exercice 7 [ 03156 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer ∀k, ∈ N, dim ker uk+ dim ker uk + dim ker u

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Eléments d’algèbre linéaire
Généralités d’algèbre linéaire
Exercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, x et f (x) soient colinéaires.Montrer que f est une homothétie vectorielle.

Projecteurs
Exercice 8 [ 00165 ] [correction] Soient p et q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E. a) Montrer que p et q ont même noyau si, et seulement si, p ◦ q = p et q ◦ p = q. b) Enoncer une condition nécessaire et suffisante semblable pour que p et q aient même image.

Exercice 2 [ 00160 ] [correction] Soient F , G et H des sous-espacesvectoriels d’un K-espace vectoriel E. Comparer : a) F ∩ (G + H) et (F ∩ G) + (F ∩ H). b) F + (G ∩ H) et (F + G) ∩ (F + H).

Exercice 3 [ 00161 ] [correction] A quelle condition la réunion de deux sous-espaces vectoriels est-elle est un sous-espace vectoriel ?

Exercice 9 Centrale MP [ 00164 ] [correction] Soient p, q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E. a) Montrer que p + q est un projecteursi, et seulement si, p ◦ q = q ◦ p = ˜. 0 b) Préciser alors Im(p + q) et ker(p + q)

Exercice 4 [ 00163 ] [correction] Soient n ∈ N , E = Rn [X] et ∆ l’endomorphisme de E déterminé par ∆(P ) = P (X + 1) − P (X). a) Justifier que l’endomorphisme ∆ est nilpotent. b) Déterminer des réels a0 , . . . , an , an+1 non triviaux vérifiant :
n+1

Exercice 10 [ 02468 ] [correction] Soient p et q deuxprojecteurs d’un K-espace vectoriel E vérifiant p ◦ q = 0. a) Montrer que r = p + q − q ◦ p est un projecteur. b) Déterminer image et noyau de celui-ci.

∀P ∈ Rn [X] ,
k=0

ak P (X + k) = 0.

Exercice 5 Mines-Ponts MP√ [ 02662 ] [correction] √ √ Soit K = Q + 2Q√ √ √ 6Q. + 3Q + a) Montrer que (1, 2, 3, 6) est une Q-base du Q-espace vectoriel K. b) Montrer que K est un sous-corps de R. Exercice 6[ 03133 ] [correction] Soient a, b ∈ R distincts. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme ϕ de R [X] vérifiant ϕ(1) = 1, ϕ(X) = X et ∀P ∈ R [X] , P (a) = P (b) = 0 ⇒ ϕ(P ) = 0

Exercice 11 [ 00166 ] [correction] Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). On suppose qu’il existe un projecteur p de E tel que u = p ◦ u − u ◦ p. a) Montrer que u(ker p) ⊂ Imp et Imp ⊂ ker u. b)En déduire u2 = 0. c) Réciproque ?

Exercice 12 X MP [ 02939 ] [correction] Soient E un espace vectoriel de dimension finie, p et q dans L(E) tels que p ◦ q = q et q ◦ p = p. Les endomorphismes p et q sont-ils diagonalisables ? codiagonalisables ?

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Enoncés

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Exercice 13 Mines-Ponts PC [ 02242 ] [correction] Soient (n, p) ∈ (N )2avec n > p, E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, E) vérifiant u ◦ v = IdF . a) Montrer que v ◦ u est un projecteur. b) Déterminer son rang, son image et son noyau.

Dimension et codimension
Exercice 19 [ 00172 ] [correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1, f un endomorphisme nilpotent non nul de E et p le plus petit entiertel que f p = 0. Montrer qu’il existe x ∈ E tel que la famille (x, f (x), f 2 (x), . . . , f p−1 (x)) soit libre et en déduire que f n = 0.

Base d’un espace vectoriel
Exercice 14 [ 00167 ] [correction] Pour a ∈ R, on note fa l’application de R vers R définie par fa (x) = |x − a|. Montrer que la famille (fa )a∈R est une famille libre d’éléments de l’espace F(R, R)

Exercice 15 [ 00168 ][correction] Pour a ∈ C, on note ea l’application de R vers C définie par ea (t) = exp(at). Montrer que la famille (ea )a∈C est une famille libre d’éléments de l’espace F(R, C).

Exercice 20 [ 00173 ] [correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N et f un endomorphisme de E tel qu’il existe un vecteur x0 ∈ E pour lequel la famille (x0 , f (x0 ), . . . , f n−1 (x0 )) soit une base...
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