PCSI A 2009-2010

Mathématiques

Lycée Brizeux

Suites récurrentes linéaires.
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Généralités

Dans cette partie K désigne indifférement le corps des réels ou celui des complexes.
Définition 1. Soit (a, b) ∈ K × K∗ . Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 est une suite (un )n∈N qui satisfait la relation de récurrence pour tout n ≥ 0 : un+2 = aun+1 + bun .

Théorème 1.1. Soient (a, b) ∈ K × K∗ et l’ensemble La,b de suites récurrentes linéaires d’ordre 2 :
La,b = {(un )n∈N ∈ KN | ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun }.
L’ensemble La,b est un K-espace vectoriel de dimension 2.
Démonstration. Il y a deux points à vérifier.
• Pour montrer que La,b est un K-espace vectoriel nous montrons que c’est un sous-espace vectoriel de KN .
La suite nulle est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 donc La,b est non vide. Soit u et v deux suites de
La,b et (λ, µ) ∈ K2 . Posons w = λu + µv. Nous avons alors : wn+2 = λun+2 + µvn+2
= λ(aun+1 + bun ) + µ(avn+1 + bvn )
= a(λun+1 + µvn+1 ) + b(λun + µvn )
= awn+1 + bwn

Donc w ∈ La,b . Ainsi La,b est un sous-espace vectoriel de KN .
• Considérons l’application ϕ suivante : ϕ: La,b
(un )n∈N

−→
−→

K2
(u0 , u1 )

Nous remarquons deux choses :
(i) L’application ϕ est linéaire. En effet pour tout (u, v) ∈ L2 et tout (λ, µ) ∈ K2 : a,b ϕ(λu + µv) = (λu0 + µv0 , λu1 + µv1 ) = λϕ(u) + µϕ(v).
(ii) L’application ϕ est bijective (en effet un élément u de La,b est uniquement déterminé par ses deux premiers termes.) Précisons cela.
Si u0 = u1 = 0 alors u est la suite nulle, dons ker ϕ est réduit à la suite nulle et ϕ est injective.
Enfin, étant donné deux scalaires (α, β) ∈ K2 on peut définir une suite u ∈ La,b telle que u0 = α et u1 = β. L’application ϕ est surjective.
En conclusion ϕ est un isomorphisme d’espace vectoriel. Comme K2 est de dimension 2, il en est de même pour La,b .

Pour déterminer les éléments de La,b il suffit donc de trouver une base (qui contient donc deux éléments) de cette espace.
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