Le mal

Pages: 122 (30455 mots) Publié le: 22 février 2011
Partie I

M¶canique analytique e

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Introduction
La m¶canique analytique n'apporte rien de conceptuellement nouveau par rapport aux formulations e standard de la dynamique newtonienne (principe fondamental, th¶orµme de l'¶nergie cin¶tique et autres e e e e points marquants de l'enseignement ¶l¶mentaire de la m¶canique), mais en constitue une formulation ee e trµs ¶l¶gante. Parfaitementadapt¶e a la description de systµmes oµ les mouvements sont sujets µ e ee e µ e u a des contraintes (un cauchemar avec les formulations \standard"), µ l'utilisation de techniques de a perturbations, ce qui explique son succµs toujours certain auprµs des astronomes, elle est souvent d'un e e usage in¯niment plus pratique que les formulations plus ¶l¶mentaires. ee Il s'agit aussi d'un casparticulier d'une approche trµs fructueuse dans des domaines vari¶s de la e e physique: une m¶thode variationnelle. En m¶canique analytique, nous ne pr¶ciserons pas les ¶quations e e e e locales que doit v¶ri¯er µ chaque instant le mouvement de la particule. Nous donnerons en fait une e a condition prescrivant µ une int¶grale portant sur l'ensemble du mouvement d'^tre extr¶male. Parmi a e e e toute lestrajectoires permises par la cin¶matique, mais parfois absurdes pour la dynamique, il nous e faudra choisir la bonne en respectant cette rµgle. En fait, la description du mouvement en m¶canique e e analytique est trµs semblable a la description des rayons lumineux avec le principe de Fermat. Lµ e µ a aussi, on doit choisir parmi tous les trajets possibles celui qui rend extr¶male une int¶grale quin'est e e autre que la dur¶e du trajet. e Surtout, et bien qu'il s'agisse d'un formalisme datant, avec Lagrange et Hamilton, de la ¯n du e e e e XVIIIµme ou du XIXµme siµcle, elle est parfaitement adapt¶e aux approches modernes de la physique. Elle joue ainsi un r^le essentiel en m¶canique statistique, elle est a l'origine de la quanti¯cation o e µ des dynamiques classiques, elle est fortementapparent¶e aux formulations modernes de la m¶canique e e quantique en termes d'int¶grales de chemin. Elle nous sera en¯n d'une grande utilit¶ pour reconstruire e e l'¶lectromagn¶tisme a partir de la relativit¶. e e µ e Cette partie se compose de deux chapitres principaux. Dans le premier, qui sera le plus ¶to®¶, nous e e donnons la formulation lagrangienne de la m¶canique analytique, qui est celle quenous utiliserons dans e la partie de relativit¶. Nous insisterons sur la notion de coordonn¶e g¶n¶ralis¶e, qui permet de traiter e e e e e de fa»on naturelle les contraintes et nous examinerons comment on peut incorporer dans le formalisme c un certain nombre d'interactions. Un point important dans ce domaine sera l'¶tablissement de la e fonction de Lagrange pour des particules charg¶es eninteraction avec un champ, dont nous montrerons e qu'elle redonne bien le force de Lorentz. En¯n, nous d¶duirons d'un certain nombre de sym¶tries e e fondamentales de la nature (invariance dans le temps, dans l'espace, invariance par rotation) les lois de conservation essentielles (¶nergie, impulsion, moment cin¶tique). Cette approche qui lie les lois de e e conservation aux propri¶t¶s de sym¶trie est enfait trµs g¶n¶rale et trµs puissante. ee e e e e e Le deuxiµme chapitre sera consacr¶ a une brµve revue du formalisme hamiltonien. Brµve parce e e µ e e que le sujet est extr^mement vaste, en particulier en ce qui concerne les transformations canoniques et e les liens avec la m¶canique quantique, brµve aussi parce que le formalisme hamiltonien ne sera guµre e e e utilis¶ en grand d¶tail dans lescours de premiµre ann¶e. e e e e

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Chapitre 1

Formulation lagrangienne
1.1 Description du systµme: coordonn¶es g¶n¶ralis¶es e e e e e

Nous consid¶rerons donc un systµme compos¶ de N particules mat¶rielles rep¶r¶es par un indice grec ®, e e e e ee variant de 1 µ N . Une telle description peut convenir a tout systµme discret de particules ponctuelles a µ e mais aussi a la...
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