E3A, 2007, MP, Math´matiques A e
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Partie I

1)

X −→ (F | X) est une forme lin´aire sur Mn (R) et elle est non nulle car (F | F ) = 0 donc son noyau est e un hyperplan de Mn (R) et, ainsi, H est un hyperplan de Mn (R) .

2)

Posons Y = tF X. On a ∀i ∈ [[1, n]]2 yii =

n

n

n

fki xki donc (F | X) = k=1 n i=1 k=1 n

fki xki donc , puisque fki = 1 n−1 pour i = k ou i = 1 ou i = n et fki = 0 sinon, on a (F | X) = k=1 xkk + k=2 xk1 + k=1 xkn .

3)

Par d´finition de H, on a F ∈ H ⊥ donc, puisque Mn (R) est de dimension finie, on a Mn (R) = H ⊕ R.F . e Soit M ∈ Mn (R), on peut donc ´crire M = N + λF avec N ∈ H et λF ∈ H ⊥ et, en prenant le e (F | M ) produit scalaire avec F , (F | M ) = (F | N ) + λ F 2 = λ F 2 donc λ = . On a donc F 2 ∀U ∈ H, M − U = (N − U ) + λF avec N − U ∈ H. Donc le th´or`me de Pythagore donne M − U 2 = e e (F | M )2 |(F | M )| 2 2 2 2 2 N −U +λ F λ F = donc d(M, H) = . F F 2

4)

F

2

n

n

= i=1 k=1

2 fki = n + 2(n − 1) = 3n − 2 donc F =

√

3n − 2 .

5) a)

0 0 1 0 . . B=. . . . 1 0 1 0  1 0 1 0 . . B2 =  . . . . 1 0 0 0 

··· 0 ··· 0 . . . ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 . . . ··· 0 ··· 0

 1 1 . .  donc rg(B) = 2 . . 1 0  0 1 . .  donc rg(B 2 ) = rg(B) = 2 . . 1 1

b)

c)

D’apr`s le th´or`me du rang, dim Ker(g) + dim Im(g) = n et si x ∈ Ker(g) ∩ Im(g), on a g(x) = 0E e e e et il existe y tel que x = g(y) donc g 2 (y) = 0E . Ainsi y ∈ Ker(g 2 ). Mais Ker(g) ⊂ Ker(g 2 ) et dim Ker(g) = n − 2 = dim Ker(g 2 ) puisque, selon [b], rg(g) = rg(g 2 ) donc Ker(g 2 ) = Ker(g). On a donc y ∈ Ker(g) donc x = g(y) = 0E . Donc Ker(g) ⊕ Im(g) = R n .

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2/5

Prenons une base B = e1 , . . . , en−2 , en−1 , en adapt´e ` la somme directe ci-dessus. On a g(ek ) = 0E e a pour k ∈ [[1, n − 2]] et g(ek ) ∈ Im g = Vect en−1 , en pour tout k et, notamment pour k ∈ {n − 1, n}. O O Donc Mat(g, B) = avec B ∈ M2 (R). De plus, O