Le mal

Pages: 27 (6530 mots) Publié le: 5 mars 2011
PCSI 2009-2010

Programme de Mathématiques

Lycée Marceau

1. Fonctions classiques A) Dérivation 1 - Définition. Domaines de définition. 2 - Rappel de quelques formules. 3 - Applications de la dérivation : sens de variation et tangentes. 4 - Dérivation des fonctions composées. 5 - Fonctions continues strictement monotones sur un intervalle. Théorème de dérivation des fonctions réciproques. B)Logarithmes et exponentielles 1 - Rappels sur le logarithme népérien : définition, propriétés algébriques et limites. Le nombre e. 2 - Fonction logarithme de base a : définition, propriétés algébriques, limites, graphes. 3 - Rappels sur la fonctions exponentielle : définition, propriétés algébriques, étude. 4 - Exponentielle de base a : définition, propriétés algébriques, limites, graphes. 5 -Fonctions puissances : calculs sur les puissances, dérivée, étude et graphes. 6 - Limites classiques. Croissances comparées des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles. 7Étude de fonctions du type u v . C) Fonctions hyperboliques 1 - Parité 2 - Fonctions sh, ch et th : définitions, dérivées, sens de variation, graphes. Relation ch2 (x) − sh2 (x) = 1. 3 - Définition des fonctions Arg sh, Arg thet Arg ch, étude des variations, calcul des dérivées, graphes. Complément : formes logarithmiques de Arg sh et de Arg th puis dérivée de Arg th . D) Trigonométrie 1 - Périodicité 2 - Rappels de trigonométrie, formules d’addition, de transformation de sommes en produits et de produits en sommes, arc double et arc moitié. 3 - Rappels sur les fonctions trigonométriques, dérivée, sens de variation,graphe. 4 - Définition des fonctions trigonométriques réciproques Arc sin, Arc cos et Arc tan, étude des variations, calcul des dérivées, graphes. 5. Exemples d’utilisation de la dérivée pour établir : sin(x) x et Arc tan(x) + Arc tan(1/x) = π/2 par deux méthodes. E) Asymptotes Méthode de recherche d’asymptotes obliques. 2. Nombres complexes A) Le corps des nombres complexes 1 - Définition etreprésentation géométrique. Opérations algébriques et leurs propriétés (structure de corps). 2 - Conjugaison. Morphisme z → z. Interprétation géométrique. B) Représentation trigonométrique des nombres complexes 1 - Module, propriétés, distance usuelle, inégalité trian1 gulaire et cas d’égalité, disques ouverts et fermés. 2 - Argument, propriétés. Module et argument de z → z . 3 - Exponentielles complexes,groupe U et morphisme t → e it , morphisme z → e z . 4 - Formules de Moivre et
n

d’Euler. Applications : linéarisation, transformation de somme en produit, calcul de cos(nx), sin(nx),
k=0 n

cos(kx)

et
k=0

sin(kx).

C) Racines des nombres complexes 1 - Racines n-ièmes de l’unité, propriétés élémentaires de ces racines, équation z n = a. 2 - Équation du second degré dans C,relations entre coefficients et racines. 3. Techniques de calcul des primitives 0 - Dérivation des fonctions à valeurs complexes cas de t → e αt et de t → e ϕ(t) . 1- Rappel du théorème fondamentale. Fonctions de classe C p . 2 - Tableau des primitives usuelles 3 - Intégration par parties et théorème de changement de variable.. 4 - Produits de polynômes par une exponentielle ou une fonction trigonométrique(classique ou hyperbolique). 5 - Fractions rationnelles : calcul des primitives de fonctions homographiques, de l’inverse et de quotient de trinômes du second degré. 6 - Fonctions trigonométriques : produits de sin et de cos, fractions rationnelles en sin et cos. 7 Fonctions trigonométriques hyperboliques. 8 - Fonctions présentant des radicaux : racine d’une fonction homographique, changements devariables usuels pour les inverses des racines de trinôme.

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4. Équations différentielles A) Équations linéaires du premier ordre 1 - Définition et exemples, définition d’une solution sur un intervalle. 2 Résolution de l’équation homogène : structure (d’espace vectoriel) de l’ensemble des solutions, expression...
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