1ère ES

FICHE n°6
Etude des variations d’une fonction
Cette fiche de leçon n’est pas exactement conforme à celle vue en classe. Elle est différemment organisée et davantage rédigée afin de vous permettre à un élève absent de pouvoir mieux la comprendre…

I. Etudier les variations d’une fonction grâce à l’étude du signe de sa dérivée
THEOREME FONDAMENTAL (admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Lorsque la fonction dérivée f ’ est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I.
Lorsque la fonction dérivée f ’ est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Lorsque la fonction dérivée f ’ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Grâce à ce théorème fondamental, on peut étudier les variations d’une fonction de la manière suivante :

Plan d’étude des variations d’une fonction par l’étude du signe de sa dérivée
• Etape 1 : on cherche dans l’énoncé le domaine de définition de la fonction.
• Etape 2 : on calcule la dérivée de la fonction (voir fiche « Calculer la dérivée d’une fonction »).
Pour étudier le signe de la dérivée (voir fiche « Etudier le signe d’une fonction») :
• Etape 3 : on analyse la forme de l’expression de la dérivée f’(x) : soit f’(x) est de la forme ax+b : on peut alors étudier le signe directement (voir fiche n°3) soit f’(x) est un trinôme (ax²+bx+c) : on peut alors étudier le signe directement (voir fiche n°3) sinon on essaie de factoriser f’(x) pour se ramener à des expressions ax+b ou ax²+bx+c.
• Etape 4 : on cherche ensuite les valeurs de x qui annulent la dérivée, c'est-à-dire tel que f’(x) = 0
(pour les tangentes horizontales éventuelles par exemple)
• Etape 5 : on en déduit le signe final de f’(x) dans un tableau de signe.
• Etape 6 : A partir du signe de la dérivée, on détermine les variations de la fonction
(théorème fondamental ci-dessus)
• Etape 7 : on complète le tableau de variations avec les minimum(s) et/ou maximum(s) de la fonction.

EXERCICE TYPE 1 Déterminer