Le nombre d'or (mathematiques)

1208 mots 5 pages
Math. Devoir sur le nombre d'or.

I) DEFINITION DU NOMBRE D'OR.
Définition artistique: Pour les artistes, qu'ils soient peintres, sculpteurs, dessinateurs ou architectes, le nombre d'or est défini ainsi : « Pour qu'un espace divisé en parties inégales apparaisse agréable et esthétique, il devra exister entre la plus petite et la plus grande partie la même relation qu'entre cette dernière et l'ensemble ». Cette formulation nous vient de l'architecte romain Vitruve, mais on peut aussi citer Euclide dans Les éléments : « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit ».
Définition mathématique:
Soit un segment [AC] et un point B plus proche de C que de A. Alors B sépare le segment selon le nombre d'or lorsque AB/BC = AC/AB, et alors le nombre d'or est la valeur de ces rapports.
Calcul du nombre d'or:
Choisissons comme unité la longueur BC et notons φ la longueur AB, qui vaut alors le nombre d'or. (φ est la lettre grecque « phi », en hommage au sculpteur grec Phidias qui fut l'un des premiers à utiliser le nombre d'or). Alors AC = φ + 1. La définition nous donne alors φ/1 = (φ + 1)/φ soit φ2 - φ - 1 = 0. On a une équation du second degré qui donne deux solutions. L'une d'elles étant négative, on ne retient que l'autre d'où φ = (racine (5) + 1)/2.
Une valeur approchée du nombre d'or est alors 1,61803398874989.
Une fois le segment avec une section dorée défini, on peut définir d'autres figures:
Le rectangle d'or est un rectangle dont le rapport des longueur des cotés vaut φ. Il est à noter que si on enlève à un rectangle d'or un carré dont le côté est la largeur du rectangle, on retrouve un rectangle d'or.
La spirale d'or : on construit un grand rectangle d'or puis, comme décrit ci-dessus, on ôte un carré. Avec le nouveau rectangle d'or, on réitère l'opération. On continue à l'infini. Puis dans chaque carré, on trace un quart de

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