Le nombre d'or (mathematiques)

Pages: 5 (1208 mots) Publié le: 12 novembre 2012
Math. Devoir sur le nombre d'or.

I) DEFINITION DU NOMBRE D'OR.
Définition artistique: Pour les artistes, qu'ils soient peintres, sculpteurs, dessinateurs ou architectes, le nombre d'or est défini ainsi : « Pour qu'un espace divisé en parties inégales apparaisse agréable et esthétique, il devra exister entre la plus petite et la plus grande partie la même relation qu'entre cette dernière etl'ensemble ». Cette formulation nous vient de l'architecte romain Vitruve, mais on peut aussi citer Euclide dans Les éléments : « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit ».
Définition mathématique:
Soit un segment [AC] et un point B plus proche de C que de A.Alors B sépare le segment selon le nombre d'or lorsque AB/BC = AC/AB, et alors le nombre d'or est la valeur de ces rapports.
Calcul du nombre d'or:
Choisissons comme unité la longueur BC et notons φ la longueur AB, qui vaut alors le nombre d'or. (φ est la lettre grecque « phi », en hommage au sculpteur grec Phidias qui fut l'un des premiers à utiliser le nombre d'or). Alors AC = φ + 1. Ladéfinition nous donne alors φ/1 = (φ + 1)/φ soit φ2 - φ - 1 = 0. On a une équation du second degré qui donne deux solutions. L'une d'elles étant négative, on ne retient que l'autre d'où φ = (racine (5) + 1)/2.
Une valeur approchée du nombre d'or est alors 1,61803398874989.
Une fois le segment avec une section dorée défini, on peut définir d'autres figures:
Le rectangle d'or est un rectangle dont lerapport des longueur des cotés vaut φ. Il est à noter que si on enlève à un rectangle d'or un carré dont le côté est la largeur du rectangle, on retrouve un rectangle d'or.
La spirale d'or : on construit un grand rectangle d'or puis, comme décrit ci-dessus, on ôte un carré. Avec le nouveau rectangle d'or, on réitère l'opération. On continue à l'infini. Puis dans chaque carré, on trace un quart decercle dont le centre est un angle du carré et le rayon est le côté du carré.

Le triangle d'or est un triangle isocèle tel que le rapport (longueur de la base)/ (longueur des autres côtés), ou le rapport inverse, vaut φ.

L'ellipse d'or est une ellipse dont le grand axe et le petit axe ont des longueurs dont le rapport vaut φ. Ainsi, une ellipse d'or est inscrite dans un rectangle d'or.

Les pointsd'or : On a vu qu'une droite peut être séparée par une section dorée. Or chaque droite admet deux points d'or : en effet, celui-ci peut être placé plus près d'une extrémité ou de l'autre. Les deux points d'or sont de plus symétriques. On définit alors dans un rectangle quatre points d'or : pour la longueur et la largeur, on place les deux points d'or. On trace alors des lignes passant par cespoints parallèles aux côtés. Les quatre points d'intersection sont les points d'or. Ceux-ci sont très utilisés dans les compositions des peintres ou des dessinateurs.

II)LE NOMBRE D'OR, UN NOMBRE D'ART.
Le nombre d'or étant censé rendre les rapports plus harmonieux, il est naturel qu'il soit utilisé dans les arts.
Comment font les artistes? Tout d'abord, un problème se pose. Un artiste souhaitepartager un segment selon le nombre d'or. Il a tracé le segment et cherche la distance devant séparer une extrémité du point doré. Il doit donc mesurer son segment, puis prendre la calculatrice pour diviser par 1,618, et enfin reprendre sa règle pour placer le point à la distance calculée. Pas très pratique si on le fait souvent... Les artistes ont alors mis au point une solution astucieuse. Ilsdisposent d'une sorte de compas. En fait, l'instrument est composé de deux branches fixées entre elles vers le milieu, chacune possédant une pointe à chaque extrémité. L'astuce est que les deux branches sont fixées de manière à ce que le point de fixage se trouve sur les points d'or des branches. Ainsi, par une simple utilisation du théorème de Thalès, si vous écartez deux des pointes sur un...
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