Options sur futures : formule de Black (1976) 1. Un contrat futures est un engagement ` vendre ou ` acheter un actif ` une date et pour un prix fix´s ` a a a e a l’avance. Ces contrats sont n´goci´s sur les march´s organis´s. Le prix futures, c’est-`-dire le prix auquel les e e e e a parties se sont engag´es ` acheter ou ` vendre l’actif, est d´termin´ sur un march´ de futures selon la loi de e a a e e e l’offre et de la demande. La valeur d’un contrat futures est nulle ` la date o` il est ´crit. Ce contrat est l’objet d’un r`glement a u e e quotidien : au jour j le d´tenteur du contrat re¸oit de la part du vendeur la somme f (j) − f (j − 1) – o` f (j) e c C u repr´sente le prix futures au jour j. Cette somme est vers´e sur son compte de marge, lequel est tenu par e e ´ un courtier aupr`s de la Bourse (proc´dure mark to market). Evidemment, lorsque ce montant est n´gatif e e e le d´tenteur verse cette somme au compte du vendeur. Ces comptes sont r´mun´r´s au taux du march´ e e ee e mon´taire. e 2. Le mod`le de march´ de Black. e e Soit fS (t, T ∗ ) le prix futures ` la date t ∈ [0, T ∗ ] et pour la date T ∗ d’un actif S donn´. La dynamique a e stochastique de ce prix futures ft = fS (t, T ∗ ) est donn´e par e (1) dft = µf ft dt + σf ft dWt , f0 > 0

avec µf et σf > 0 r´els donn´s. La solution de cette EDS est e e (2) 1 2 ft = f0 exp (µf − σf ) t + σf Wt . 2

Sur le march´ Black est aussi pr´sent l’actif sans risque, not´ B, dont le prix ` la date t est donn´ par e e e a e Bt = ert ; ici r repr´sente le taux d’int´rˆt court-terme, suppos´ constant sur la p´riode [0, T ∗ ] consid´r´e. e ee e e ee 3. Ce march´ est suppos´ sans opportunit´ d’arbitrage. Dans ces conditions, le bon z´ro-coupon unit´ de e e e e e ∗ maturit´ T ∗ (payant donc 1 – ` cette date) a pour prix B(t, T ∗ ) = e−r(T −t) ` une date interm´diaire t. e Ca a e ∗ Le prix forward de S ` la date t pour la maturit´ T ∗ est FS (t, T ∗ ) = St /B(t, T ∗ ) = St er(T −t) . Lorsque le a e taux d’int´rˆt est