Les espace vectorieles normée

Pages: 23 (5665 mots) Publié le: 13 février 2012
` ´ Problemes de Mathematiques Dual topologique d’un espace
p

. Exemples de parties compactes de

2

´ Enonc´ e

Dual topologique d’un espace compactes de 2

p

. Exemples de parties

Dans tout le probl`me le corps de base des espaces vectoriels consid´r´s est C . Lorsque (E , · ) e ee est un espace vectoriel norm´, E d´signe l’espace des formes lin´aires continues sur (E , · ) .e e e Partie I [ I ] [ S ] 1) On d´signe par B la boule ferm´e unit´ de E , c’est ` dire l’ensemble des vecteurs x de e e e a E tels que x 1 . Montrer que l’on d´finit une norme | · | sur E par la formule : e ∗ ∗ ∗ ∀ x ∈ E , | x | = Sup |x (x)| .
x∈B

[ I ] [ S ] 2) Dans toute la suite on consid´rera l’espace norm´ (E , | · |) qui sera simplement not´ E e e e et appel´ dual topologique de E . ea) Soit (x∗ )n∈N une suite de Cauchy de E . Montrer que pour chaque x fix´ dans E , la e n ∗ suite xn (x) n∈N est convergente dans C . On associe ainsi, ` chaque x ∈ E , un unique a complexe lim x∗ (x) que l’on note x∗ (x) . n
n→+∞

b) Montrer que l’application x∗ : E −→ C d´finie en a) est ´l´ment de E . e ee c) Montrer que lim | x∗ − x∗ | = 0 . n
n→+∞

´ [ I ] [ S ] 3) Enoncer le r´sultat deport´e g´n´rale d´montr´ dans cette partie. e e e e e e Partie II Soit
1

l’espace des suites (xn )n∈N telles que la s´rie e
1

xn soit absolument convergente. On
+∞

munit

de la norme d´finie par ∀ x ∈ e



1

,

x

1

=
n=0

|xn | . Soit




l’espace des suites


born´es ` valeurs dans C , muni de la norme d´finie par ∀ x∗ ∈ e a e

,

x

= Sup |xn | .On
n∈N

note C0 le sous-espace de ∞ constitu´ des suites convergentes vers 0 et P l’ensemble des suites e complexes nulles au del` d’un certain rang. Pour n ∈ N on note δn l’´l´ment de P d´fini par a ee e δn = (δnk )n∈N o` δnk = 1 si n = k et 0 si n = k . u [ I ] [ S ] 1) a) V´rifier les inclusions P ⊂ e b) Comparer sur
1 1

⊂ C0 ⊂
1



. ·


la norme

·

avec la restriction de1 1) . ∞ ).

a `

1

.

c) Montrer que P est une partie dense de ( , · d) Montrer que P est une partie dense de (C0 , · e) P est-elle une partie dense de ( [ I ] [ S ] 2) Soit Φ : ( 1 ) −→
∞ ∞

, ·

∞) ? n∈N

l’application d´finie par ∀ x∗ ∈ ( 1 ) , Φ(x∗ ) = x∗ (δn ) e

·

a) V´rifier que l’application Φ est bien d´finie, c’est ` dire que, pour tout x∗ ∈ ( 1 ) , e e a ∗ ∞ Φ(x ) ∈ .c EduKlub S.A. Page 1 Michel Lepez www.klubprepa.net Tous droits de l’auteur des œuvres r´serv´s. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation e e individuelle et priv´e sont interdites. e

` ´ Problemes de Mathematiques Dual topologique d’un espace
p

. Exemples de parties compactes de

2

´ Enonc´ e

b) Montrer que Φ est uneapplication lin´aire continue. Quelle est sa norme ? e c) Montrer que Φ est une isom´trie, c’est ` dire une bijection telle que ∀ x∗ ∈ ( 1 ) , e a ∗ ∗ Φ(x ) ∞ = | x | . d) Que d´duisez vous de I.3 et II.2.c en ce qui concerne l’espace norm´ e e e) Construire une isom´trie Ψ : C0 −→ e
1 ∞

?
1

. Qu’en d´duisez vous pour l’espace norm´ e e

?

Partie III 1 1 p et q sont des r´els de ]1 ,+∞[ tels que + = 1 . Pour tout r´el t positif on pose tp = exp(p ln t) e e p q si t > 0 et t0 = 1 . On note p l’ensemble des suites x = (xn )n∈N de CN telles que la s´rie |xn |p e
+∞

soit convergente. On pose alors x

p

=
n=0

|xn |

p

1 p

. up v q + · p q = 1 , alors z = (xn yn )n∈N ∈ 1 et

[ I ] [ S ] 1) a) D´duire de la convexit´ de l’exponentielle r´elle que pour tout (u, v) ∈ R2 , uv e e e + b) En d´duire que si (x , y) ∈ e z 1 1 . En conclure que
p

×

q

v´rifie x e
+∞

p

= y

q

∀ (x , y) ∈

p

×

q

,
n=0

|xn ||yn |

x

p

y

q

.

Cette in´galit´ est dite in´galit´ de H¨lder. Pr´ciser le cas d’´galit´. e e e e o e e e c) V´rifier que |xn + yn |p |xn + yn | q |xn | + |xn + yn | q |yn | et d´duire de l’in´galit´ de...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Espaces vectoriels
  • Espaces vectoriel
  • espaces vectoriels
  • espace vectoriel
  • Espace vectoriel
  • Espaces vectoriels
  • Éspace vectoriél
  • espace vectoriel et applications linéaires

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !