Introduction

« Il est bien connu que décrire la Terre fut un des premiers problèmes formels que l’Homme se soit posés. Aux mains des Grecs la « géo-métrie » (de géo -la Terre- et metron –mesure), donna jour à la géométrie mathématique. Cependant – comme il arrive bien souvent dans le développement des sciences ! – La géométrie mathématique oublia très vite ses origines, ayant à peine gratté la surface du problème initial »

Les objets fractals B. MANDELBROT.

La géométrie euclidienne que les Grecs nous ont léguée a été pendant des siècles le pilier des mathématiques. Cependant, bien qu’ayant permis d’élucider certains mystères, elle conserve de nombreuses failles dans l’étude d’objets ne correspondant pas aux notions de droite, de plan, de longueur et d'aire formant le support des cours de géométrie élémentaire.
En s’appuyant sur de nombreuses recherches effectuées par divers mathématiciens avant lui, Benoît Mandelbrot démontre dans les années 1970 la présence d’une nouvelle famille d’objets mathématiques aux propriétés étonnantes permettant une représentation plus réaliste du Monde : Les fractales.

Que sont donc les fractales, en quoi peuvent-elles nous permettre d’expliquer et même de modéliser certains phénomènes naturels ?

Nous essayerons de répondre à ces interrogations au cours de ce TPE.

I/ Des limites de la géométrie euclidienne à la Naissance des fractals

A/ fondements et limites de la géométrie euclidienne.

1) Des figures définies et des postulats

Avant de pouvoir déterminer les limites de la géométrie euclidienne, il faut d’abord être en mesure d’en expliquer les fondements. Pour commencer, Euclide dans son premier livre a défini les notions de nombreuses figures mathématiques qui seront les fondations de ces célèbres postulats. En voici les plus importantes :

- un point est ce dont la partie est nulle. - Une ligne (ou courbe) est une longueur sans largeur. - Les extrémités d’une surface