Les paramétres de dispersion et de forme

Pages: 5 (1107 mots) Publié le: 1 avril 2011
PARAMETRES DE POSITION (VALEURS CENTRALES)
ET DE DISPERSION

INTRODUCTION
Avec l’étude des paramètres de position (les valeurs centrales) et des paramètres de dispersion, c’est une nouvelle phase dans l’exploration des distributions statistiques. • Paramètres de position : ! Moyenne ! Mode ! Quantiles (médiane, quartiles, déciles, centiles) Paramètres de dispersion : ! Ecart type ! Ecartsinterquantiles ! Etendue



QUEL EST L’INTERET DE CES VALEURS ?
Les paramètres de position (ou valeurs centrales) sont des valeurs numériques qui « résument » une série statistique en caractérisant l’ordre de grandeur des observations. Ils s’expriment dans la même unité que les observations. Les paramètres de position permettent de situer la position de plusieurs séries comparables. Lorsque ladistribution est parfaitement symétrique, mode, moyenne et médiane sont confondues.
ni

xi Paramètres de position 1 Paramètres de position 2

Les deux courbes ont la même allure, mais ne se positionnent pas du tout au même endroit sur l’axe des valeurs (des modalités). Les paramètres de position le mettent clairement en évidence.

Cependant, comme le montre le schéma qui suit, cesparamètres ne suffisent pas pour « résumer », pour « décrire » (de façon synthétique) une distribution. En effet, ces paramètres permettent de situer la gamme de valeur où la série se situe, mais, pour des paramètres de position très proches, on peut rencontrer des courbes dont la dispersion (la forme) est très différente. C’est ici qu’interviennent les paramètres de dispersion.
Forte dispersion xi Mêmesparamètres de position Faible dispersion ni

RAPPELS
A) PARAMETRES DE POSITION (VALEURS CENTRALES)

La moyenne arithmétique (

x ) d’une variable est égale à la somme des valeurs prises par cette

variable divisée par le nombre d’individus.

Le mode (Mo) d’une distribution est la valeur de la variable pour laquelle l’effectif, la fréquence ou la densité de fréquence est la plus élevée.Pour une variable discrète ou quantitative continue non classée, le mode est défini avec précision. S’il y a deux valeurs qui se suivent et qui ont le même effectif, on parle d’intervalle modal. Si elle ne se suivent pas, on dit que la distribution est plurimodale. Pour les variables quantitatives classées (discrétisées), on parle de classe modale. Si les classes sont d’égales amplitudes, laclasse modale sera la classe où l’effectif ou la fréquence est la plus élevée. Si les classes sont d’inégales amplitudes, la classe modale sera la classe où la densité de fréquence est la plus élevée. Dans les deux cas, on évalue graphiquement le mode en joignant les bornes supérieures et les bornes inférieures des classes qui précèdent et succèdent la classe modale, comme le montre le schémaci-contre.
Mo xi dens. de fi classe modale

La médiane (Me) d’une distribution est la valeur de la variable qui partage la série statistique en deux sous-ensembles d’égal effectif, c-a-d 50% a une valeur inférieure à la Me, et 50% une valeur supérieure. La médiane est un quantile particulier. On appelle quantile d’ordre α %, et on note Qα la valeur xi de la variable telle que α % des valeurs observéessoient inférieures strictement à xi. Ainsi, la médiane est le quantile d’ordre 50%. Parmi les quantiles, on calcule généralement certains d’entre eux (bien qu’on puisse calculer le quantile que l’on veut) : les quartiles, les déciles ou les centiles.

Les 3 quartiles partagent la distribution en 4 sous-population de même taille : 25 % de la population est inférieure au 1er quartile Q25 ou Q1, 50% de la population est inférieure au 2ème quartile Q50 ou Q2 (la médiane Me), 75 % de la population est inférieure au 3ème quartile Q75 ou Q3. Les 9 déciles et les 99 centiles partagent la distribution en 10 et 100 sous-population de même taille.

Calcul des quantiles d’ordre k :

1) rang du quantile Qk RQk = (n x FQk) + 0,5_ n : effectif total FQk : fréquence du quantile d’ordre k, c-a-d...
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