Déduire à partir des variations de la fonction « carré » les variations d’une fonction polynôme de degré 2.

Les variations de la fonction carré (décroissante sur ]- ; 0], croissante sur [0 ; + [) étant connues et écrites dans le cours, on a le droit de les utiliser dans un exercice sans le redémontrer. Elles permettent de justifier qu’une fonction qui « ressemble » à la fonction carré (comme , ; ou un intervalle. a) b) c) d) Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; + [. Montrer que la fonction g est décroissante sur ]- ; -3]. Montrer que la fonction h est décroissante sur [0 ; + [. Montrer que la fonction k est croissante sur ]- ; 0]. ) est croissante ou décroissante sur

Dans tous les cas, il faut revenir à la définition : Une fonction f est croissante lorsque, si u < v, alors f(u) < f(v). Une fonction f est décroissante lorsque, si u < v, alors f(u) > f(v). a) Soit u et v deux nombres positifs tels que 0 < u < v. (on va chercher à prouver que f(u) < f(v), c’est-à-dire ici que u² < v² car la fonction carré est croissante sur [0 ; + [. u² - 5 < v² - 5 f(u) < f(v) Donc la fonction f est bien croissante sur [0 ; + [.

<

.)

b) Soit u et v deux nombres appartenant à l’intervalle ]- ; -3] tels que u < v < -3. (on va chercher à prouver que g(u) > g(v), c’est-à-dire ici que > .) u+3 g(v) Donc la fonction g est bien décroissante sur ]- ; -3]. c) Soit u et v deux nombres positifs tels que 0 < u < v. (on va chercher à prouver que h(u) > h(v), c’est-à-dire ici que > u² < v² car la fonction carré est croissante sur [0 ; + [. -2u² > -2v² (on change le sens car on a multiplié par un nombre négatif) h(u) > h(v) Donc la fonction h est bien décroissante sur [0 ; + [. d) Soit u et v deux nombres négatifs tels que u < v < 0. (on va chercher à prouver que k(u) < k(v), c’est-à-dire ici que < .) u² > v² car la fonction carré est décroissante sur ]- ; 0]. -u² < -v² (on change de nouveau le sens car on a multiplié par un nombre négatif) 3 - u² < 3 - v² < Donc la