Mécanique des fluides

Pages: 5 (1217 mots) Publié le: 14 février 2012
Hydrodynamique

Quand un fluide s’écoule dans un conduit, des pertes d’énergies dues aux frottements entrainent des pertes de charges, d’amont en aval.
Cette perte de charge dépend du type (ou régime) d’écoulement :
Ecoulement linéaire, laminaire ou lamellaire
Ecoulement turbulent, tourbillonnaire ou de venturi

Ecoulement laminaire : régime de Poiseuille
A faible vitesse d’un fluidevisqueux, dans un conduit rectiligne s’effectue de telle façon que les lignes de courant glissent les unes sur les autres tout en restant parallèle.
La vitesse est parallèle en tous points de l’axe du tube.
La perte de charge s’exprime en fonction de la distance.


Ecoulement turbulent :
En fonction de différentes conditions, les vitesses ne sont plus parallèles, partent dans toutes lesdirections.
Les particules parcourent un trajet plus long que le déplacement global du fluide.
La perte de charge est beaucoup plus importante que pour l’écoulement laminaire.

Notion de mise en évidence par Reynolds (1890) à l’aide de colorants :
Pour faible vitesse, le colorant injecté dans un courant axial ne se mélange que très peu.
A partir d’un certain niveau de vitesse (vitessecritique), le colorant ne se mélange pas : Vc = R (η/ρr)
Vc = vitesse critique
R = nombre sans dimension = nombre de Reynolds
η = viscosité (Kg.m^(-1).s^(-1))
ρ = masse volumique(1Kg.m^(-3))
En pratique : Korotkov, microsphères, dilatation post-sténotique.

Reynolds montre que :
Si R < 1000, le régime est toujours laminaire avec la vitesse = vitesse moyenne (Vm) (R < 2000 si la vitesse =vitesse maximal axiale = 2 Vm)
Si R > 5000, le régime est instable, c'est-à-dire qu’il varie avec les conditions expérimentales.

L’écoulement passe du régime laminaire à turbulent quand : R = V*ρ*r/η
V augmente, ρ augmente, r augmente, η diminue.

Attention ! Différents paramètres sont liés, par exemple la vitesse ne croit pas avec la viscosité.

Calcul de la vitesse d’écoulement et dunombre de Reynolds au niveau de la racine de l’aorte chez le sujet témoin.
Calcul du débit cardiaque à partir duquel l’écoulement sera certainement turbulent.
Conditions physiologiques au repos pour l’aorte (R = 2000 si on prend d, R = 1000 si on ne prend pas d)
Vmoy = 30cm/s, d = 0.02m, "η = 4." 〖10〗^(-3) Poiseuille, ρ = 1060 Kg.m^(-3)
R augmente:
. À l’effort: D augmente donc Vmoyaugmente.
. Anémie : η diminue et D augmente donc Vmoy augmente.
. Sténose : d diminue donc Vmoy augmente.
Les régimes avec turbulences se traduisent par des vibrations donc par la production de son = souffle d’auscultation.

Soit l’écoulement dans un tube rigide d’un liquide newtonien en régime laminaire :


FA = PAπr²
FB = PBπr²
FM = FA – FB = (PA-PB) πr²
FV = -η * 2πrl *dv/dr avec S = 2πrl (Newton)
(Fm) ⃗+(Fv) ⃗=0 (régime permanent). On a (PA-PB)πr² = -η2πrl * dv/dr

Expression de la vitesse d’écoulement en fonction de sa position.
On a ∆P *–η * 2π rl*dv/dr d’où dv = (-∆P/2ηl) * r*dr
La vitesse du fluide v à une distance r de l’axe du conduit est donnée après intégration de l’équation différentielle par la formule v = (-∆P/2ηl).(r²/2) + B
Or pour v = 0 en r= r0, on a B = (∆P-r0²)/4ηl
D’où v(r) = ∆P/l*1/4η*(r0²-r²) = ∆P/l*1/4η*r0²(1-(r²/r0²))
V(r) = v max α(-r²) parabole avec v max pour r=0 et nulle pour r=r0.

Cette expression démontre que le profil des vitesses dans un fluide réel en écoulement laminaire est parabolique.


Par ailleurs, on peut déterminer le débit volumique au niveau d’une lamelle cylindrique :
dD = v(r).dS = v(r). 2πrdrEn intégrant le profil parabolique sur toute la largeur du tube, on obtient le débit du fluide de ce cylindre :
D = (π/8)*(l/η)*(〖r0〗^4/l)*∆P
π/8 = facteur numérique
l/η = facteur de viscosité
〖r0〗^4/l = facteur géométrique

La Loi de poiseuille relie le mouvement d’un liquide (débit) à l’existence d’une force générée par la perte de charge.

De cette formule, il faut retenir :
A...
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