Méthode probit

Pages: 13 (3063 mots) Publié le: 18 mars 2013
URCA 2008-2009

Hugo Harari-Kermadec harari@ecogest.ens-cachan.fr

´ Econom´trie 2 : donn´es qualitatives, probit et logit e e

I

Un mod`le pour donn´es qualitatives e e

Cette section est fortement inspir´e du cours de Christophe Hurlin. e On est confront´ ` des donn´es qualitatives en micro-´conomie et en marketing, lorsque l’on ´tudie des choix ea e e e (d’achat, de consommation, decomportement, de licenciement) ou des risques de d´faillance (prˆt). On peut e e prendre un exemple : pour une population d’´tudiants en L3, on s’int´resse ` l’´v´nement “s’inscrire dans un e e a e e master”.

I.1

Le mod`le dichotomique e

Par mod`le dichotomique, on entend un mod`le statistique dans lequel la variable expliqu´e ne peut prendre e e e que deux modalit´s (variabledichotomique). Il s’agit alors g´n´ralement d’expliquer la survenue ou non d’un e e e ´v`nement, ou d’un choix. Dans notre exemple, l’´tudiant s’inscrit ou non en master. e e e On consid`re un ´chantillon de n individus d’indices i = 1, .., n. Pour chaque individu, on observe si un certain e e ´v`nement s’est r´alis´ et l’on pose : e e e e Yi = 1 0 si l’´v`nement s’est r´alis´ (l’´tudiant s’inscrit) e e e ee si l’´v`nement ne s’est pas r´alis´ (pas d’inscription) e e e e

On remarque ici le choix du codage (0, 1) qui est traditionnellement retenu pour les mod`les dichotomique. En e effet, celui-ci permet de d´finir la probabilit´ de survenue de l’´v`nement comme l’esp´rance de la variable Y , e e e e e puisque : E[Yi ] = Pr(Yi = 1) × 1 + Pr(Yi = 0) × 0 = Pr(Yi = 1). L’esp´rance de Yi donne donc laprobabilit´ que l’´tudiant s’inscrive en master. e e e L’objectif des mod`les dichotomiques consiste alors ` expliquer la survenue de l’´v´nement consid´r´ en fonce a e e ee tion de K caract´ristiques observ´es (Xi1 , . . . , XiK ) pour un individu i de l’´chantillon, par exemple l’age de e e e l’´tudiant, son statut marital, s’il a des enfants, le niveau de vie des parents... e

I.2

Unmod`le lin´aire ? e e

De mani`re g´n´rale, comme pour le mod`le lin´aire, on ´crit pour les variables explicatives Xi = (1, Xi1 , . . . , XiK ) e e e e e e et pour les param`tres θ = (θ0 , θ1 , . . . , θK ) , de sorte que θ0 + θ1 Xi1 + · · · + θK XiK = Xθ. e L’usage direct d’un mod`le lin´aire est vou´ ` l’´chec : ´crire Yi = Xi θ + ε impose ` Xi θ + ε de ne prendre e e e a e e a que les valeurs 0et 1. Dans notre exemple, ¸a reviendrait ` vouloir exprimer l’inscription en master comme une c a fonction lin´aire de l’age et des autres variables explicatives. e Graphiquement, les valeurs de Y ne sont pas distribu´es autour d’une droite, mais sur deux droites parall`les, e e Y = 0 et Y = 1.

1

Figure 1 – R´gression lin´aire pour donn´es qualitatives, avec K = 1. e e e En fait, par rapportau cadre d’usage du mod`le lin´aire, on observe beaucoup moins d’information. Ceci va e e apparaˆ grˆce ` l’introduction d’une “variable latente” Y ∗ : ıtre a a Yi = c’est-`-dire a Yi = 1 Xi θ+εi ≥0 . l Pour utiliser les outils du mod`le lin´aire, il faudrait observer Y ∗ , ce qui n’est pas le cas. Il faut donc se r´soudre e e e ae ` ˆtre moins ambitieux et ` faire des hypoth`ses bien plusimportantes. a e 1 0 Yi∗ ≥ 0 Yi∗ ≤ 0. o` Yi∗ = Xi θ + εi , u

I.3

Identification
ε ∼ N (0, 1).

Dans le cas gaussien, on va ˆtre amen´ ` faire l’hypoth`se tr`s forte que les r´sidus sont r´duits : e ea e e e e

En effet, si l’on ne sp´cifie pas la variance de ε, on a un probl`me d’identification : les mod`les e e e Yi = 1 0.2+3Xi1 +εi ≥0 avec ε ∼ N (0, 1) l Yi = 1 0.4+6Xi1 +εi ≥0 avec ε ∼ N (0, 4)l donnent exactement les mˆmes observations. En supposant seulement que les r´sidus sont gaussiens, on est donc e e impossible d’estimer les param`tres θ0 et θ1 . e On peut aussi choisir de sp´cifier que les r´sidus suivent la loi logistique, comme on va le voir au paragraphe e e suivant, l’important ´tant que la loi doit ˆtre totalement sp´cifi´e. e e e e

Figure 2 – La densit´ de la loi...
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