Travaux dirigés
« Vibrations » Exercice:
Soit une a tige AB de longueur 2L = 1 m dont la section a une surface S = 4.10-4 m2 et une inertie quadratique autour de z notée I = 1.34 10-8 m4. Le module d’Young du matériau de la tige est E = 210 GPa et ρ = 7800 Kg/m3 est sa masse v volumique. On s’intéresse aux mouvements de vibration de flexion de cette tige encastrée en A et libre en B. (a) Donner l’expression explicite du mode propre fondamental de la tige encastréelibre. (b) Donner la valeur exacte de la fréquence propre fondamentale de cette tige tige.

Rappel :
Les modes propres d’une poutre en flexion de longueur L s’écrivent:

, avec . On. On donne le tableau ci ci-dessous:

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Problème :
On considère la tige de l’exercice précédent supportant une masse en son centre C comme le montre la figure ci dessous. On souhaite obtenir une approximation de la dessous. fréquence fondamentale de la structure par différentes approches. La masse placée en C est noté M. Dans ce mouvement de vibration, on note v(x, t) le déplacement transversal . (direction y) d’une section de la tige située à l’abscisse x (l’origine des abscisses étant prise en A). Les effets de pesanteur sont négligés négligés.

 Partie I :
Dans un premier temps, on cherche une approximation par analogie avec un système à un degré de liberté équivalent. On considère que le système est majoritairement équivalent. entrainé en mouvement par la masse M. (a) Quelle variable de déplacement utiliser pour l’éq l’équivalence ? (b) Donner l’expression de la raideur équivalente du système 1ddl. (c) On considère que la masse de la tige est faible devant M. Définir la masse équivalente. (d) En déduire une approximation de la fréquence fondamentale du système. (e) Donner une nouvelle approximation de cette fréquence propre en définissant, par une équivalence énergétique, une masse équivalente qui tienne compte de la masse de la tige. On utilisera pour cela la forme de la tige V(x) = x2. (f) En