Pour en finir avec .

Bien sur ce titre n’est qu’une accroche marketing, et je n’en finirai sans doute avec rien, mais si j’arrive à me faire comprendre par quelques uns ce ne sera déjà pas si mal.

Remarque liminaire : les « objets » mathématiques et les relations qui les joignent ne se trouvent pas dans la nature, ce sont des définitions précises données par les mathématiciens, il n’est donc pas raisonnable de vouloir démontrer une définition ou une convention (qui n’est qu’une définition particulière), on peut, au mieux, les justifier.

Chapitre 1
Pré-requis admis : la multiplication des réels entre eux, la récurrence sur .

Idée intuitive : créer une notation pour indiquer pour x un réel quelconque, et n un entier naturel non nul, qu'on a multiplié x, n fois par lui-même (on comprend bien que multiplier un nombre 0 fois par lui-même n’a pas de sens (1 fois pourrait être discutable, mais en disant « le produit de n facteurs égaux à x », la réserve n’as plus de raison d’être)).

Définition mathématique (1) : on note le nombre défini par la relation de récurrence suivante :

On voit rapidement qu’avec cette définition (), mais que n’est pas pris en compte par cette définition (donc n'existe pas), pas plus que d’ailleurs.
Extensions possibles : on peut démontrer facilement (et c’est conforme à la définition intuitive) que , c'est-à-dire que l’application de dans définie par est un morphisme, et comme est un magma (associatif et commutatif), il s’agit donc d’un morphisme de magma (c'est-à-dire que si f est injective ( a les mêmes propriétés que est alors un isomorphisme). Une idée naturelle de prolongement est de passer de à , c'est-à-dire du magma au monoïde en ajoutant le 0.
Au niveau intuitif, cela n’a pas beaucoup de sens (cf.supra).
Au niveau de la définition mathématique(1), une très légère modification convient :

On peut remarquer que poser est la solution la plus « économique » (elle ne nécessite aucune modification de la